LPNHE - UMR 7585 - Formulaire de trigonométrie hyperbolique

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par Tristan Beau - 1er juin 2017

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Définitions de base

$\cosh a=\frac{e^a+e^{-a}}{2}$

$\sinh a =\frac{e^a-e^{-a}}{2}$

$\tanh a = \frac{\sinh a}{\cosh a}$

Relations fondamentales

$\cosh^2a-\sinh^2a=1$

$1-\tanh^2a=\frac{1}{\cosh^2a}$

Addition

$\sinh(a+b)=\sinh a\cosh b+\cosh a\sinh b$

$\sinh(a-b)=\sinh a\cosh b-\cosh a\sinh b$

$\cosh(a+b)=\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b$

$\cosh(a-b)=\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b$

$\tanh(a+b)=\frac{\tanh a+\tanh b}{1+\tanh a\tanh b}$

$\tanh(a-b)=\frac{\tanh a-\tanh b}{1-\tanh a\tanh b}$

$\sinh(2a)=2\sinh a\cosh a$

$\cosh(2a)=\cosh^2a+\sinh^2a$

$\tanh{2a}=\frac{2\tanh a}{1+\tanh^2a}$

$\sinh\left(\frac{a}{2}\right)=\sqrt{\frac{\cosh a -1}{2}}$

$\cosh\left(\frac{a}{2}\right)=\sqrt{\frac{\cosh a+1}{2}}$

Primitives et dérivées

$\frac{\rm{d}}{\mathrm{d}x}\sinh x=\cosh x$

$\frac{\rm{d}}{\mathrm{d}x}\cosh x=\sinh x$

$\frac{\rm{d}}{\mathrm{d}x}\tanh x=\frac{1}{\cosh^2 x}$

$\frac{\rm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{asinh} \,x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{\rm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{acosh} \,x=\frac{1}{\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}$

$\frac{\rm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{atanh} \mx=\frac{1}{1-x^2}$

$\int \sinh^2 x \mathrm{d}x=\frac{\sinh 2x}{4}-\frac{x}{2}$

$\int \cosh^2 x \mathrm{d}x=\frac{\sinh 2x}{4}+\frac{x}{2}$