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Formulaire de trigonométrie plane

par Tristan Beau - 1er juin 2017

Retrouvez cette page sous l’URL courte http://huit.re/trigo

Toujours utiles, les relations trigonométriques...

Relations fondamentales

$\cos^2a+\sin^2a=1$
$1+\tan^2a=\frac{1}{\cos^2a}$

Addition

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$
$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
$\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$
$\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$
$\sin(2a)=2\sin a\cos a$
$\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a$
$\qquad\qquad=1-2\sin^2a$
$\qquad\qquad=2\cos^2a-1$
$\tan{2a}=2\frac{\tan a}{1-\tan^2a}$

Produit en somme

$\cos^2a=\frac{1+\cos 2a}{2}$
$\sin^2a=\frac{1-\cos 2a}{2}$
$\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left(\cos(a+b)+\cos(a-b)\right)$
$\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left(\cos(a-b)-\cos(a+b)\right)$
$\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left(\sin(a+b)+\sin(a-b)\right)$

Somme en produit

$\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$
$\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
$\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$
$\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$

Tangente de l’angle moitié
Si $t=\tan\frac{\theta}{2}$,

$\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
$\sin\theta=\frac{2t}{1+t^2}$
$\tan\theta=\frac{2t}{1-t^2}$

Fonctions circulaires inverses

$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2},\:x\in[-1 ;1]$
$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2},\:x\in[-1 ;1]$
$\sin(\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
$\cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
$\tan(\arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
$\tan(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
$\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$
$\arccos x+\arcsin x=\frac{\pi}{2}$
$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{x}{\left|x\right|}\cdot\frac{\pi}{2},\:x\neq 0$
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