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Formulaire de trigonométrie plane

par Tristan Beau - 1er juin

Retrouvez cette page sous l’URL courte http://huit.re/trigo

Toujours utiles, les relations trigonométriques...

Relations fondamentales

\cos^2a+\sin^2a=1
1+\tan^2a=\frac{1}{\cos^2a}
Addition
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b
\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b
\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}
\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}
\sin(2a)=2\sin a\cos a
\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a
\qquad\qquad=1-2\sin^2a
\qquad\qquad=2\cos^2a-1
\tan{2a}=2\frac{\tan a}{1-\tan^2a}
Produit en somme
\cos^2a=\frac{1+\cos 2a}{2}
\sin^2a=\frac{1-\cos 2a}{2}
\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left(\cos(a+b)+\cos(a-b)\right)
\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left(\cos(a-b)-\cos(a+b)\right)
\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left(\sin(a+b)+\sin(a-b)\right)
Somme en produit
\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}
\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}
\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}
\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}
Tangente de l’angle moitié Si t=\tan\frac{\theta}{2},
\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}
\sin\theta=\frac{2t}{1+t^2}
\tan\theta=\frac{2t}{1-t^2}
Fonctions circulaires inverses
\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2},\:x\in[-1;1]
\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2},\:x\in[-1;1]
\sin(\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
\cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
\tan(\arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
\tan(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}
\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}
\arccos x+\arcsin x=\frac{\pi}{2}
\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{x}{\left|x\right|}\cdot\frac{\pi}{2},\:x\neq 0
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