analyse de e+ e- --> tau+ tau-

version - 3 mai 2002

fc.F0.ius

Dans ce texte nous suggérons d'utiliser la valeur F(x) de la fonction cumulative d'une Gaussienne, plutôt que la valeur du pull x, pour tester la recontruction d'événements.

L'intérêt que nous y voyons est que cette forme d'analyse peut être utilisée pour des v.a. autres que des Gaussiennes.

A posteriori nous y voyons un autre intérêt. L'utilisation des cumulatives conduit à une analyse de déformations d'une droite. Notre oeuil est culturellement mieux éduqué pour percevoir de telles déformations que les déformations d'une Gaussienne, fût-elle représentée en coordonnées logarithmiques.

x faisceau

Comme exemple, nous avons choisi d'utiliser le programme fitau et la simulation présentée en << 4. Analyse simulation-maison >> du frame ci-contre,et plus précisément la coordonnée x du vertex principal. Ci-dessous, 4 histogrammes :

Ci-dessus plot 1
- delta-x faisceau<
- Ecarts-types évalués par "fitau"
- pulls
- Fonction cumulative

On voit que "ça marche" ; il resterait à apprendre à analyser les diagrammes du type 331 ci-dessus en terme des diagrammes classiques (i.e. pulls, type 321).

Distribution non-Gaussienne

Dans un programme annexe, nous avons simulé une distribution non-Gaussienne et nous l'avons analysé avec la méthode présentée ci-dessus. La densité de probalité de la loi était : (ref : MM1/Annexe/ti2)
f(x) = 1./(b*sqrt(-x/b) * exp(-sqrt(-x/b))
avec b = 1.

Ca continue à "marcher". (En fait j'ai un peu triché dans cette présentation ; j'expose des idées plus que des résultats pour le présent ; résultats vraiment honêtes dans le futur).

1fc. cumulative reconstruite  avec b = 1.                                                       
  
 HBOOK     ID =        12
 
      124
      120                          -                   -
      116                          I      -      -     I -     - -
      112                          I -    I      I     I-I     I I
      108                --     -  I I    I-     I-    I I     I I
      104                II   - I -I I  - II--   II-  -I I     I I
      100       ---    - II   I I II-I -I-I  I  -I I--I  I --  I I
       96       I I   -I II --I-I I  I-I     I--I        I-II  I I
       92       I I- -II II I   I I                         I -I I
       88       I  I-I I II I   I-I                         I II I
       84       I      I-II-I                               I-II I
       80       I                                              I-I
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       72       I                                                I
       68       I                                                I
       64       I                                                I
       60       I                                                I
       56       I                                                I
       52       I                                                I
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       32       I                                                I
       28       I                                                I
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       16       I                                                I
       12       I                                                I
        8       I                                                I
        4       I                                                I
 
 CHANNELS  10   0        1         2         3         4         5   
            1   12345678901234567890123456789012345678901234567890   
 
 CONTENTS 100          1 11   1 1 11 1  111111   111  1111  1  1 1
           10   99998990800899090802909900100099910099020199089181
            1.  88725140188466348710796840683266856179109567030403
 
 LOW-EDGE   1.       111112222233333444445555566666777778888899999
 *10**  1   0   02468024680246802468024680246802468024680246802468
 
 * ENTRIES =       5000      * ALL CHANNELS = 0.5000E+04      * UNDERFLOW = 0.0000E+00      * OVERFLOW = 0.0000E+00
 * BIN WID = 0.2000E-01      * MEAN VALUE   = 0.5063E+00      * R . M . S = 0.2854E+00      * NEQUIVAL = 0.5000E+04

Distributions non-Gaussiennes

Ci-dessous le fonctions cumulatives établies pour deux valeurs de b (0.8 et 1.2). On a immédiatement la perception que cette valeur de b est comprise entre les deux valeurs testées.

D'où cette intuition, cet espoir, qu'un tel histogramme, établi d'après une suite de fits d'événements, permette de trouver une forme correcte pour le spectre du faisceau en énergie et que la convergence serait rapide.

1fc. cumulative  pour b = 0.8      
 
 HBOOK     ID =        12 

      148       -
      144       I
      140       I
      136       I
      132       I-
      128       II
      124       II               -
      120       II               I
      116       II     -         I
      112       II-  - I         I       -
      108       I I -I I    - -  I -  - -I            -
      104       I I II I-  -I I  I I  I II    --      I
      100       I I-II-II- II-I -I-I  I II- - II    --I---       -
       96       I        I I  I I  I--I-I I-I II--- I    I-   -- I
       92       I        I-I  I-I           I I   I I     I   II I
       88       I                           I-I   I I     I - II I
       84       I                                 I-I     I-I II-I
       80       I                                           I I  I
       76       I                                           I I  I
       72       I                                           I I  I
       68       I                                           I I  I
       64       I                                           I-I  I
       60       I                                                I
       56       I                                                I
       52       I                                                I
       48       I                                                I
       44       I                                                I
       40       I                                                I
       36       I                                                I
       32       I                                                I
       28       I                                                I
       24       I                                                I
       20       I                                                I
       16       I                                                I
       12       I                                                I
        8       I                                                I
        4       I                                                I
 
 CHANNELS  10   0        1         2         3         4         5   
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 CONTENTS 100   111 11 111 11 1  1 1  1 11    11     11           
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 LOW-EDGE   1.       111112222233333444445555566666777778888899999
 *10**  1   0   02468024680246802468024680246802468024680246802468
 
 * ENTRIES =       5000      * ALL CHANNELS = 0.5000E+04      * UNDERFLOW = 0.0000E+00      * OVERFLOW = 0.0000E+00
 * BIN WID = 0.2000E-01      * MEAN VALUE   = 0.4783E+00      * R . M . S = 0.2902E+00      * NEQUIVAL = 0.5000E+04



1fc. cumulative   pour b = 1.2
 
 HBOOK     ID =        12   
 
      136
      132                                                      -
      128                                                      I
      124                                               --     I -
      120                                               II     I I
      116                            -       -    --   -II -   I I
      112                            I    - -I - -II   I I-I   I I
      108                           -I - -I-II I I I   I   I   I I
      104                   - -    -II I I   I-I I I---I   I - I I
      100                   I I -- I I-I I     I-I         I-I I I
       96               - --I I-II-I   I-I                   I I I
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       88         -    II I I I                              I I-I
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       80         I--  I    I I                                  I
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       72       I-I I-I     I-I                                  I
       68       I                                                I
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       60       I                                                I
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       52       I                                                I
       48       I                                                I
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       28       I                                                I
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       12       I                                                I
        8       I                                                I
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 CONTENTS 100               1 1  1 111 1 1111111 1111111111111 1 1
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 LOW-EDGE   1.       111112222233333444445555566666777778888899999
 *10**  1   0   02468024680246802468024680246802468024680246802468
 
 * ENTRIES =       5000      * ALL CHANNELS = 0.5000E+04      * UNDERFLOW = 0.0000E+00      * OVERFLOW = 0.0000E+00
 * BIN WID = 0.2000E-01      * MEAN VALUE   = 0.5291E+00      * R . M . S = 0.2805E+00      * NEQUIVAL = 0.5000E+04

composante x du vecteur unitaire

Nous savons que les composantes de ce vecteur sont non-Gaussiennes. Nous examinons ici l'aspect que présente la fonction cumulative en ce cas, si on la considère comme une Gaussienne.

Ci-dessous, 4 histogrammes, les mêmes que pour le vertex principal :

Ci-dessus plot 4
- distribution des ecarts entre valeur reconstruite et valeur simulée :
- spectre des erreurs de mesures.
- spectre des pulls.
- spectre des cumulatives, calculé comme si la distribution des pulls précédants était Gaussienne.
Les ailes de la distribution des pulls apparaissent dans les 2 bins extrêmes. Entre ceus-ci la distribution est loin d'être plate.

Il ne reste plus qu'à calculer la loi théorique qui devrait remplacer le calcul Gaussien.

Calcul de chi2

Un dernier point : Si cette approche se révèle suffisamment stable, ne serait-il pas interessant de calculer des gaussiennes qui auraient même fonction cumulative que celle décrites ci-dessus et faire intervenir celles-ci dans le calcul du chi2 ?

Ou dit autrement, n'aurait-on pas là une façon de remplacer les variables u1, u2, u3 par de véritables fonctions de Gauss ?

Puissiez-vous accepter mes excuses pour la présentation démodée des histos !