tau-tau Analysis
Généralités
version 0.3 - 24 novembre 2000
Paramètres et variables
Il s'agit de décrire, d'une façon exaustive, un événement de type :
e+ e- -> tau-A tau-B
tau-A -> systeme-C + neutrino-A
tau-B -> systeme-D + neutrino-B
Dans ce qui est présenté ici,
le système-C est obtenu comme désintégration de
trois particules chargées dont on a pu déterminer le vertex et
la quadri-impulsion totale.
Le système-D ne donne lieu qu'à une seule trace chargée,
qu'il soit constitué d'une particule unique pi+ par exemple,
(kphys = {3,13}),
ou de particules quelconques, non détectées, en plus de la trace chargée
(kphys = {5,15}) [ici kphys est une clef du programme
reliée à la topologie de l'événement et au jeu de variables
utilisées].
Pour décrire mathématiquement de tels systèmes on peut utiliser
---avec quelques autres qui sont spécifiques de la réaction--- les 7
paramètres suivants :
- x3f
- les 3 coordonnées du vertex principal,
- alpha
- proportionnels au temps de vie de chacun des
taus,
précisément la quantité :
ctau/<masse du tau>.
- les angles
- theta, phi de production des taus dans le
cms.
En fait ces paramètres présentent un inconvénient mathématique :
(que nous avons trouvé très fâcheux dans un temps ancien, voir la
babar-note 279 qui se rapporte à un sujet voisin),
chacun des deux pôles de cette représentation cos(theta) = +-1.
sur la sphère
est une singularité mathématique spurieuse).
Nous avons donc remplacé ces 2 paramètres par 3 variables
qui sont les 3 composantes d'un verteur unitaire ; il existe donc une
contrainte entre ces 3 variables. Dans la suite, nous
n'évoquerons plus les paramètres, nous n'utiliserons que les variables
(au sens de la définition ci-dessus)
Bref 8 variables décrivent les 3 vertex, ce sont :
- x3f(i) , i = 1:3
- coordonnées du vertex principal.
- alpha
- (le temps de vie propre de tau_A est
m_tau*alpha)
- beta
- (le temps de vie propre de tau_B est
m_tau*beta)
- u(i) , i = 1:3
- coordonnées du vecteur unitaire
Dans le laboratoire, les extrémités des tri-vecteurs impulsion des
tau-A et tau-B se trouvent sur une ellipse définie par la cinématique. Soit :
T (transverse) et L (longitudinal) les demi-axes de cette ellipse,
soit p_0 la position de son centre le long de l'axe OZ.
Avec les 8 variables ci-dessus, différentes grandeurs liées à
l'événement s'écrivent :
composantes de la 3-impulsion du tau-A
- p3a(1) = T.u(1)
- p3a(2) = T.u(2)
- p3a(3) = L.u(3) + p_0
composantes de la 3-impulsion du tau-B
- p3b(1) =-T.u(1)
- p3b(2) =-T.u(2)
- p3b(3) =-L.u(3) + p_0
position des vertex A et B :
- x3a(i) = x3f(i) + alpha . p3a(i) , {i = 1:3}
- x3b(i) = x3f(i) + beta . p3b(i) , {i = 1:3}
D'autre variables sont utilisées au nombre de 6 dans les cas
kphys = 3, 4 ou 5 :
- p3c
- 3 composantes du système-C,
- p3d
- 3 composantes du système-D,
qui n'est autre que la
trace mesurée en ce cas.
Pour kphys = 13 ou 15, trois autres variables seulement :
- p3c
- 3 composantes du système-C,
A noter que dans le cas kphys = 3, 4 ou 13, il faut imposer que
la masse du neutrino-B est nulle, ce qui représente une contrainte
supplémentaire.
En résumé :
- pour kphys = 3 ou 5, il y a 14 variables ; la 3-impulsion
de la trace chargée est fitée,
- pour kphys = 4, il y a 14 variables ; la 4-impulsion du système-D
(issu de la désintégration du tau-B, il représente toutes les
particules émises hormis le neutrino-B),
- pour kphys = 13 ou 15, il y a 11 variables ; la 3-impulsion de la trace
qui est issue de la désintégration du tauB n'est pas fitée.
Du point de vue du comptage des degrés de liberté, le nombre de
variables est de :
- kphys=3
- (8 + 6) variables, 2 contraintes
- kphys=4
- (8 + 6) variables, 2 contraintes
- kphys=5
- (8 + 6) variables, 1 contrainte
- kphys=13
- (8 + 3) variables, 2 contraintes
- kphys=15
- (8 + 3) variables, 1 contrainte
Mesures
Il est commode de réserver les indices k et l pour décrire les
coordonnées de l'espace des mesures.
Il est de même commode de réserver les indices i et j pour décrire les
coordonnées de l'espace des variables.
Par convertion, une variable x^i est une grandeur contravariente de
l'espace des variables, y_k une grandeur covariente de l'espace des
mesures, etc. La nature de l'indice est significative de l'espace auquel
la grandeur appartient.
Dans les deux cas kphys = 3 ou 5 ci-dessus, on utilise les
16 mesures suivantes (et leur matrices d'erreur) :
- x3f
- les 3 coordonnées du vertex principal, données par
la position et l'extension des faisceaux en
interaction,
- x3a
- les 3 coordonnées du vertex A (désintégration
de tau-A),
- p4c
- les 4 composantes de l'impulsion du système-C,
- x3t
- les 3 coordonnées d'un point T, proche, situé
sur la trace chargée issue du vertex B,
- p3t
- les 3 composantes de l'impulsion de la particule située
sur cette trace.
Dans les deux cas kphys = 13 ou 15 on utilise les
3 mesures p3t comme des paramètres fixes lors du traitement d'un
événement (et leur matrices d'erreur ne sont pas utilisées),
c'est une simplification, un peu de gain de temps de calcul, bof !
Matrice d'erreurs
On dispose donc de Nk = 16 ou 13 mesures et de la matrice brute
V^{kl} des erreurs de mesure.
On considère cette matrice V^{kl} comme étant la
métrique contravariante de l'espace des mesures. Tout naturellement,
la métrique covariante est l'inverse de celle-ci :
V_{kl} = inverse(V^{kl})
Pour un événement donné cet inverse ne dépend pas des
variables utilisées pour le représenter.
La matrice V_{kl} est modifiée pour tenir compte du fait
que le point de mesure T est certes supposé proche de B, mais non point
confondu avec lui. Afin de faire disparaitre les termes provenant de
l'écart entre B et T, on projette (dans l'espace des mesures) cette matrice
sur le plan perpendiculaire à la direction BT qui est
la direction de la trace mesurée.
Il nous suffit maintenant de minimiser le chi2 :
chî2 = [{x}^k(mesure) - {x}^k(variables)] . V_{kl} .
[{x}^l(mesure) - {x}^l(variables)]
Nombre de degrés de liberté
En récapitulant, les nombres de degrés de liberté sont donnés
dans le tableau suivant :
kphys=3 : nmes = 16 - 1 = 15,
ndl = 15 - [(8+6)-2] = 3
kphys=5 : nmes = 16 - 1 = 15,
ndl = 15 - [(8+6)-1] = 2
kphys=13 : nmes = 16 - 1 - 3 = 12
ndl = 12 - [(8+3)-2] = 3
kphys=15 : nmes = 13 - 1 - 3 = 12
ndl = 12 - [(8+3)-1] = 2
Ce comptage est correct du point de vue mathématique, mais que
penser de la contrainte portant sur la position Z du vertex
principal ? Qu'elle apporte bien peu d'information sur la postion
de ce vertex : sigma_Z = 1.cm, à comparer aux 50.microns des
autres mesures de position !
Software
Le code utilisable (version 1.1) se trouve en
/afs/in2p3.fr/group/babar/benayoun/HH8.
Le code en cours de mise au point se trouve en
/afs/in2p3.fr/home/l/leruste/public/HH7 (future version 1.2).
Il est écrit en fortran 90. Il utilise en particulier des types
(l'analogue des classes de C++) pour le calcul automatique des
gradients de scalaires et vecteurs. Ces gradients sont utilisés par
le minimiseur et pour le calcul des variances.
Toute minimisation commence par une initialisation aussi pertinente que
possible. Nous nous sommes fondé essentiellement sur l'algorithme de
Ch. de la Vaissière qui utilise les impulsions des
systèmes hadroniques, ramenées dans le système du centre de masse des 2
tau, pour y déterminer la tri-impulsion des tau (référence xxxx).
Quelques calculs complémentaires, plus ou moins astucieux,
permettent alors de définir un jeu de
valeurs initiales pour les variables (cf.tttau2.f).
Nous utilisons le minimiseur e04ucf de la naglib.
Dans une version ancienne,
les temps de calcul étaient, pour 100 événements, de
10 secondes (sur risc mais 50 sur sun (sic)).
Ces durées étaient obtenues en donnant les
dérivées toutes calculées au minimiseur.
Dans le cas contraire,
la durée du calcul était de 40 secondes sur risc.
Philippe Leruste
LPNHE. Paris 6/7
leruste@lpnhp2.in2p3.fr