tau-tau Analysis

version 0.0 - 30 juillet 2000

Paramètres et variables
Il s'agit de décrire, d'une façon exaustive, un événement de type :

      e+ e- -> tau-A tau-B
               tau-A       -> systeme-C + neutrino-A
                    tau-B  -> systeme-D + neutrino-B

Dans ce qui est présenté ici, le système-C est obtenu comme désintégration de trois particules chargées dont on a pu déterminer le vertex et la quadri-impulsion totale.

Le système-D ne donne lieu qu'à une seule trace chargée, qu'il soit constitué d'une particule unique pi+ par exemple, kphys=3, ou de particules quelconques, non détectées, en plus de la trace chargée kphys=15 [ici kphys est une clef du programme].

Pour décrire mathématiquement de tel systèmes on peut utiliser ---avec quelques autres qui sont spécifiques de la réaction--- les 7 paramètres suivants :

x3f: les 3 coordonnées du vertex principal,
alpha: proportionnels au temps de vie de chacun des temps de vie de chacun des taus, précisément la quantité : ctau/<masse du tau>.
les angles: theta, phi de production des taus dans le cms.

En fait ces paramètres présentent un inconvénient mathématique : (que nous avons trouvé très fâcheux dans un temps ancien, voir la babar-note 279 qui se rapporte à un sujet voisin), chacun des deux pôles de cette représentation cos(theta) = +-1. sur la sphère est une singularité mathématique spurieuse).

Nous avons donc remplacé ces 2 paramètres par 3 variables qui sont les 3 composantes d'un verteur unitaire ; il existe donc une contrainte entre ces 3 variables. Dans la suite, nous n'évoquerons plus les paramètres, nous n'utiliserons que les variables.

Bref 8 variables décrivent les 3 vertex, ce sont :

x3f(i) , i = 1:3: coordonnées du vertex principal.
alpha: (le temps de vie propre de tau_A est m_tau*alpha)
beta: (le temps de vie propre de tau_B est m_tau*bet m_tau*beta) >u(i) i = 1:3; coordonnées du vecteur unitaire

Dans le laboratoire, les extrémités des tri-vecteurs impulsion des tau-A et tau-B se trouvent sur une ellipse définie par la cinématique. Soit : T (transverse) et L (longitudinal) les demi-axes de cette ellipse, soit p_0 la position de son centre le long de l'axe OZ. Avec les 8 variables, différentes grandeurs liées à l'événement s'écrivent :

composantes de la 3-impulsion du tau-A

p3a(1) = T.u(1)

p3a(2) = T.u(2)

p3a(3) = L.u(3) + p_0

composantes de la 3-impulsion du tau-B

p3b(1) =-T.u(1)

p3b(2) =-T.u(2)

p3b(3) =-L.u(3) + p_0

position des vertex A et B :

x3a(i) = x3f(i) + alpha . p3a(i) , {i = 1:3}

x3b(i) = x3f(i) + beta . p3b(i) , {i = 1:3}

D'autre variables sont utilisées au nombre de 6 dans le cas kphys=3 :

p3c: 3 composantes du système-C,
p3d: 3 composantes du système-D, qui n'est autre que la trace mesur'e en c trace mesur'e en ce cas.

Pour kphys=15, 3 autres variables seulement :

p3c: 3 composantes du système-C,

A noter que dans le cas kphys=3 il faut imposer que la masse du neutrino-B est nulle, ce qui représente une contrainte supplémentaire.

Du point de vue du comptage des degrés de liberté, le nombre de variables est de :

kphys=3: (8 + 6) variables, 2 contraintes
kphys=15: (8 + 3) variables, 1 contrainte

Mesures

Il est commode de réserver les indices k et l pour décrire les coordonnées de l'espace des mesures. Il est de même commode de réserver les indices i et j pour décrire les coordonnées de l'espace des variables. Par convertion, une variable x^i est une grandeur contravariente de l'espace des variables, y_k une grandeur covariente de l'espace des mesures, etc. La nature de l'indice est significative de l'espace auquel la grandeur appartient.

Dans les deux cas évoqués ci-dessus, on utilise les 16 mesures suivantes (et leur matrices d'erreur pour la plupart d'entre elles) :

x3f: les 3 coordonnées du vertex principal, données par la position e la position et l'extension des faisceaux en interaction,
x3a: les 3 coordonnées du vertex A (désintégration de tau-A),
p4c: les 4 composantes de l'impulsion du système-C,
x3t: les 3 coordonnées d'un point T, proche, situé sur la trace chargée issue du vertex B,
p3t: les 3 composantes de l'impulsion de la particule située sur cette trace.

Matrice d'erreurs

On dispose donc de Nk=16 mesures et de la matrice brute ($V^{kl}$) des erreurs de mesure.
On considère cette matrice V^{kl} comme étant la métrique contravariante de l'espace des mesures. Tout naturellement, la métrique covariante est l'inverse de celle-ci : V_{kl} = inverse(V^{kl}) Pour un événement donné cet inverse ne dépend pas des variables utilisées pour le représenter.
La matrice V_{kl} est modifiée pour tenir compte du fait que le point de mesure T est certes supposé proche de B, mais non point confondu avec lui. Afin de faire disparaitre les termes provenant de l'écart entre B et T, on projette (dans l'espace des mesures) cette matrice sur le plan perpendiculaire àplan perpendiculaire à la direction BT qui est la direction de la trace mesurée. Il nous suffit maintenant de minimiser le chi2 :

chî2 = [{x}^k(mesure) - {x}^k(variables)] . V_{kl} . [{x}^l(mesure) - {x}^l(variables)]

Nombre de degrés de liberté

En récapitulant, les nombres de degrés de liberté sont donnés dans le tableau suivant :

           kphys=3  : nmes = 16 - 1     = 15,  
                       ndl = 15 - [(8+6)-2] = 3
           kphys=4  : nmes = 16 - 1 - 3 = 12 
                       ndl = 12 - [(8+3)-1] = 2

Ce comptage est correct du point de vue mathématique, mais que penser de la contrainte portant sur la position Z du vertex principal ? Qu'elle apporte bien peu d'information sur la postion de ce vertex : sigma_Z = 1.cm, à comparer aux 50.microns des autres mesures de position !

Software

Le code se trouve en /afs/in2p3.fr/home/l/leruste/public/HH2 . Il est écrit en fortran 90. Il utilise en particulier des {\sc type}s (l'analogue des classes de c++) pour le calcul automatique des gradients de scalaires et vecteurs. Ces gradients sont utilisés par le minimiseur et pour le calcul des variances.

Toute minimisation commence par une initialisation aussi pertinente que possible. Nous nous sommente que possible. Nous nous sommes fondé essentiellement sur l'algorithme de Ch. de la Vaissière qui utilise les impulsions des systèmes hadroniques, ramenées dans le système du centre de masse des 2 tau, pour y déterminer la tri-impulsion des tau (référence xxxx). Quelques calculs complémentaires, plus ou moins astucieux, permettent alors de définir un jeu de valeurs initiales pour les variables (cf. tttau2.f). Nous utilisons le minimiseur e04ucf de la naglib. Dans une version ancienne, les temps de calcul étaient, pour 100 événements, de 10 secondes (sur risc mais 50 sur sun (sic)). Ces durées étaient obtenues en donnant les dérivées toutes calculées au minimiseur. Dans le cas contraire, la durée du calcul était de 40 secondes sur risc.

Philippe Leruste
LPNHE. Paris 6/7
leruste@lpnhp2.in2p3.fr

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