%\documentclass[10pt]{report}

%\begin{document}

%\newcommand{\sne}{supernov{\ae}}

%\chapter{Jouer toutes ses cartes : l'\`a priori photom\'etrique}
%\label{chap:apriori}

La probl\'ematique, maintenant que l'on dispose d'un bon r\'esum\'e 
bidimensionel du signal,
est d'en extraire le plus d\'elicatement possible le signal attribuable \`a
la \sn\ de celui des sources voisines et en particulier de la galaxie h\^ote 
de la \sn.
Les donn\'ees sont ainsi r\'eduites \`a leur plus simple expression : un spectre 
unidimensionnel beaucoup plus commode \`a manipuler.

Il faut pour cela savoir pr\'ecis\'ement o\`u se trouve la trace spectrale
de la \sn\ : sa position $Y_s$ et son inclinaison (\`a supposer qu'elle
n'est pas courbe).
Une technique populaire consiste \`a d\'econvoluer l'image pour en faire
ressortir les points sources.
Cependant, la d\'econvolution est tr\`es sensible \`a la qualit\'e du mod\`ele
de PSF, et au niveau de bruit de l'image.
Pour nos images \`a bas signal, la d\'econvolution risque de ne pas \^etre
vraiment efficace.

Comme nous disposons d'informations compl\'ementaires qui ont abouti \`a
la s\'election du candidat : nomm\'ement les images profondes des champs et
la courbe de lumi\`ere des \sne, nous allons les utiliser comme \`a priori
pour mieux contraindre l'extraction.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% METHODE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Les grandes lignes}
\label{sec:methode}

La motivation principale pour raffiner l'extraction est d'obtenir, directement
depuis le spectrogramme bidimensionel, un spectre de \sn\ pur.
L'ajustement de mod\`eles de galaxies en sus de ceux de \sne\ pour classifier 
l'objet source sera alors inutile, et l'impr\'ecision propre \`a la soustraction 
de ces mod\`eles discrets sera abolie.

Cependant, il est illusoire d'atteindre cette puret\'e pour tous nos
candidats.
Mais, lorsque cela est possible, il faut pouvoir le faire.

\subsection{Obtention des \`a priori}
\label{subsec:priors}
Le plan d'attaque du probl\`eme est le suivant : 
On veut comparer les profils d'intensit\'e int\'egr\'es dans les filtres du CFHT
avec ceux auxquels on s'attend si le pointage du VLT est pr\'ecisement celui
demand\'e : aux coordonn\'ees de la \sn.

De cette comparaison, on pourra d\'eriver la position exacte de la 
\sn\ sur le spectrogramme, et utiliser cette information pour n'extraire 
le signal qu'en cette position.

Le profil photom\'etrique comporte d'une part les sources stables, les galaxies,
et d'autre part le transient ponctuel identifi\'e.
Pour pouvoir r\'ealiser des courbes de lumi\`ere de pr\'ecision 
{\em cosmologique} et trouver efficacement les nouveaux transients, 
le groupe de photom\'etrie construit les images profondes des 4 champs de 1
degr\'e carr\'e observ\'es (de $20k\times20k=400\ Mega\ pixels$).
Id\'ealement, le flux des objets variables doit \^etre exclu de ces images,
mais la mise en {\oe}uvre d'un tel filtre est complexe, et l'on utilise 
plut\^ot les r\'ef\'erences pass\'ees ou futures pour (re)trouver les objets.
Les courbes de lumi\`ere pr\'ecises sont obtenues en r\'ealignant toutes les
images disponibles pour construire la r\'ef\'erence locale contemporaine
et la courbe de lumi\`ere du point source recherch\'e, entre -30 et +150 
jours autour du maximum de luminosit\'e, dans chaque filtre.

\paragraph{Par une coupe photom\'etrique :\\}

Nous disposons donc de deux sources possibles du profil galactique : 
les grands champs profonds, ou les vignettes r\'ealign\'ees propres \`a chaque
\sn.

Dans les deux cas, il faut int\'egrer ces images le long de la fente projet\'ee
sur la voute c\'eleste.
En supposant un pointage parfait, et connaissant l'angle polaire d'observation,
cette fen\^etre d'int\'egration est facile \`a d\'efinir 
(c.f. Fig. \ref{img:slitonref}).
Plus complexe est l'int\'egration selon une grille inclin\'ee par rapport
\`a celle des pixels.
J'ai utilis\'e le programme sp\'ecialis\'e {\tt SWarp} (E. Bertin) du groupe de 
traitement des images de MegaCam TERAPIX\footnote{Traitement \'Elementaire, 
R\'eduction et Analyse des PIXels de megacam.\\
Voir {\tt http://terapix.iap.fr/}}
pour effectuer ce r\'e\'echantillonnage.
Le pixel de r\'ef\'erence $Y_{ref}$ est associ\'e aux coordonn\'ees de la \sn.

Toujours soucieux du niveau de bruit des mod\`eles, les coupes obtenues sur les
images profondes sont pr\'ef\'er\'ees \`a celles des vignettes.
Pour que la \sn\ n'apparaisse pas dilu\'ee sur la coupe, j'utilise les
champs profonds les moins contemporains de la \sn.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{ %\hspace{-1.0cm}
\begin{tabular}[b]{cc}

\begin{picture}(5,100)
  \put(0,90){\vector(0,1){15}}
  \put(-3,107){N}
  \put(0,90){\vector(-1,0){15}}
  \put(-23,88){E}

  % 04D4it image := 411*240
  % 1 inch = 2.54 cm = 72.27 pt -> 1 cm = 28.45 pt.
  % 1 pix = 9cm/411 = 0.62 pt -> 10'' = 50 pix = 31.15 pt.
  \put(0,40){\line(0,1){31.15}}
  \put(-2,71.15){\line(1,0){4}}
  \put(-2,40){\line(1,0){4}}
  \put(-15,50){10''}

\end{picture}

\includegraphics[width=10cm]{images/sky/04D4it_rgb_slit.png} & % 500x200

\begin{minipage}[b]{3.3cm}
\caption{
{\it Position de la \sn\ 04D4it et de la fente de $1''$, calcul\'ees d'apr\`es les 
coordonn\'ees de la \sn, de celles de l'image du champ profond D4, 
et de l'angle polaire ($-63.4^{\circ}\ ;\  N\!\rightarrow\!O$).
La position de la \sn\ correspond \`a la croix noire.}
\label{img:slitonref}
}\end{minipage}
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{figure}

\paragraph{Et le flux de la \sn\ :\\}

Le flux des candidats dans chaque filtre est mesur\'e tous les 4 jours, 
lorsque la m\'et\'eo le permet.
Le flux $\hat{F}_{spec}$ au moment de l'observation spectroscopique peut \^etre 
grossi\`erement approxim\'e par interpolation lin\'eaire des mesures 
photom\'etriques prises avant et apr\`es.

Par ailleurs, J. Guy a d\'evelopp\'e un mod\`ele de courbes de lumi\`eres
de SN-Ia : SALT (pour {\em Spectral Adaptive Light-curve Template} \cite{salt}),
qui permet d'ajuster simultan\'ement les courbes de lumi\`eres
dans tous les filtres, connaissant le \z, et \`a supposer que le candidat est 
effectivement une SN-Ia. 
En fait, la qualit\'e de l'ajustement est r\'ev\'elatrice de la probabilit\'e 
qu'il en soit une.

Pour les candidats d\'ej\`a estampill\'es SN-Ia par l'analyse en temps-r\'eel, 
cet ajustement fournit une estimation plus fine de la luminosit\'e du transient
au moment de la spectroscopie.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{ %\hspace{-1.0cm}
\begin{tabular}[b]{cc}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/LC_Fit.png} & 
\begin{minipage}[b]{3cm}
\caption{ 
{\it Courbe de lumi\`ere dans les filtres {\em g'}, {\em r'} et {\em i'}
de la \sn\ 04D4it, et son ajustement par SALT.
La date de spectroscopie apparait en pointill\'es.}
\label{fig:lcfit}
}\end{minipage}
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{figure}

Lorsque cet ajustement n'est pas disponible, l'interpolation des points de 
photom\'etrie est utilis\'ee. 
Cependant, s'il n'y a de mesures qu'avant la date de spectroscopie, et que 
le transient d\'eclinait d\'ej\`a, l'extrapolation peut mener \`a un flux 
n\'egatif.
Dans un tel cas, un flux arbitrairement faible ($20\ ADU_{SALT}$ et un point
z\'ero de 30, soit une magnitude $\sim 26.75$) est utilis\'e.

\paragraph{}
Pour additionner ces deux composantes, il faut auparavant les exprimer dans la
m\^eme unit\'e.
Les {\em points z\'ero} associ\'es aux deux mesures (aux deux unit\'ees 
$ADU_{CFHT}$ et $ADU_{SALT}$) permettent de convertir une unit\'e en l'autre.
On choisit le point z\'ero ($ZP$) le plus grand : celui des courbes de lumi\`ere, 
et le profil photom\'etrique est multipli\'e par 
\( 10^{\frac{ ZP_{SALT}-ZP_{CFHT} }{2.5} }\).

Le point source du candidat y est ajout\'e sous la forme d'une gaussienne 
d'int\'egrale $\hat{F}_{spec}$, de largeur \'egale au {\em seeing} 
($\sigma = \frac{seeing}{2\sqrt{2\log2}}$), et centr\'ee sur la position
du candidat (c.f. Fig \ref{fig:photprior}-a).

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.5cm}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/Photo_prior.png}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/Matched_profils.png}
}
\caption{
{\it {\bf \`A gauche :} Exemple d'\`a priori obtenu pour le candidat 04D4it, 
dans le filtre {\em r'}.
 {\bf \`A droite :} Calage des profils \`a priori (CFHT) sur les profils 
int\'egr\'es (VLT), pour les trois filtres.
Les d\'ecalages $\Delta Y$ trouv\'es pour chaque filtre sont indiqu\'es.
On en d\'eduit $Y_s=97.83\ pixel$ (dans le referenciel du spectrogramme 
combin\'e), et $\alpha=-1.59\ 10^{-3}$.
}\label{fig:photprior}}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Ad\'equation spectro-photom\'etrique}
Si la pr\'ecision absolue de pointage du VLT \'etait inf\'erieure \`a $0.2''$ 
(au pixel), on pourrait utiliser directement cet \`a priori pour guider 
l'extraction.
Comme ce n'est pas le cas, il est n\'ecessaire de {\em caler} le profil
\`a priori sur le profil int\'egr\'e (c.f. Fig. \ref{fig:photprior}-b).

Pour ce faire, la corr\'elation des deux profils est calcul\'ee, et la position 
de son maximum parabolique est estim\'ee (th\'eoriquement \'egale au d\'ecalage 
entre les deux profils), pour chaque filtre.

On obtient donc 3 d\'ecalages $\Delta Y_k$ entre les profils int\'egr\'es et 
l'\`a priori, valables aux 3 $\lambda_k$ effectifs des 3 filtres 
(pour le grisme 300V; 2 pour le 300I).
Un ajustement lin\'eaire de ces d\'ecalages en fonction de \Xp\ fournit
l'estim\'ee de la position $Y_s$ du candidat en $X_0$ et de l'inclinaison 
$\alpha$ de sa trace : 
\[ \Delta Y_k = (Y_s-Y_{ref}) + \alpha \times (\Xp(\lambda_k)-X_0) \]

Lors de l'ajustement, les d\'ecalages sont pond\'er\'es par la valeur de la 
r\'eponse instrumentale, int\'egr\'ee dans chaque filtre.
On donne ainsi plus de poids aux d\'ecalages calcul\'es l\`a o\`u la fonction
de r\'eponse est la plus grande, donc l\`a o\`u l'on s'attend \`a avoir le plus 
de flux.

Les profils int\'egr\'es sont normalis\'es aux m\^emes flux totaux que les
profils \`a priori, dans l'unique but de rendre agr\'eable la visualisation 
du calage. 

\paragraph{Robustification aux faibles flux :\\}

En fait, lorsque le candidat est tr\`es faible, le niveau de bruit des profils
est sup\'erieur au signal, et la corr\'elation est domin\'ee par ce bruit.
Son maximum risque alors de se trouver l\`a o\`u les bruits, plut\^ot que
les signaux, se {\em corr\`elent} le mieux, aboutissant \`a un d\'ecalage 
erronn\'e.

Afin de limiter la contribution du bruit, les valeurs n\'egatives des profils 
sont mises \`a z\'ero avant d'effectuer la corr\'elation (visible en Fig.
\ref{fig:photprior}-a).

Lorsque la pente $\alpha$ est trop forte ($ > 6 $ pixels bord \`a bord), car 
il n'y a pr\'ecis\'ement pas de assez de signal dans une ou plusieurs bandes,
cette pente est forc\'ee \`a z\'ero et la position estim\'ee $Y_s(X_0)$ au centre 
est utilis\'ee.
Notons que s'il n'y a pas assez de flux pour retrouver la position de la source, 
cela est de mauvaise augure pour l'extraction \`a venir.

\subsection{D\'efinition des sources \`a extraire}

\`A pr\'esent que l'on a fait le lien entre les r\'ef\'erences photom\'etriques
et notre spectrogramme, il nous faut d\'efinir la position et le profil spatial des
sources \`a extraire. 
Cette \'etape est d'une importance cruciale car elle conditionne la qualit\'e
des spectres qui seront extraits.

En effet, il nous faut d\'ecomposer le profil galactique en composantes 
\'el\'ementaires : en sources dont le spectre est uniforme.
Cependant, l'information spectrale est contenue dans le spectrogramme combin\'e,
duquel on veut l'extraire.
L'exercice consiste donc \`a d\'efinir le plus pr\'ecis\'ement possible ces
composantes \`a partir des seuls profils photom\'etriques, pris dans diff\'erents
filtres, c'est \`a dire int\'egr\'es dans divers domaines spectraux.

Le cas de figure le plus g\'en\'eral correspond \`a une \sn\ explosant au sein
des bras d'une galaxie spirale.
\'Etant donn\'e que les bras spiraux sont constitu\'es d'une population d'\'etoiles 
plus jeunes que celle du c{\oe}ur, contenant plus d'\'etoiles massives et chaudes,
le spectre des bras est plus bleu que celui du c{\oe}ur, et contient \'egalement 
des raies d'\'emission n\'ebulaire (raies de d\'esexcitation de nuages de gaz 
\'eclair\'es par le rayonnement dur d'\'etoiles chaudes proches), indicateur d'une 
phase de formation stellaire r\'ecente.
On d\'enombre alors au moins trois composantes \'el\'ementaires : le c{\oe}ur
de la galaxie, ses bras spiraux et la \sn.

Il est \'egalement fr\'equent que d'autres galaxies, situ\'ees ou non \`a la m\^eme
distance que la \sn, se trouvent dans la fente.
Il faut en ce cas s\'eparer chaque galaxie en une composante (ou deux si c'est une 
galaxie spirale).

L'algorithme d'extraction pr\'esent\'e ci-apr\`es se base sur le profil des
sources \`a extraire pour calculer leur flux en chaque colonne du spectrogramme
combin\'e (en chaque \lda), par minimisation du \ki.

La \sn\ est une source ponctuelle, non r\'esolue. Son profil est suppos\'e
\^etre gaussien (PSF), de largeur \`a mi-hauteur \'egale au \seeing\ mesur\'e
par la cam\'era de guidage de l'UT au cours de l'observation spectroscopique 
(\`a Paranal). 

Concernant les galaxies, on distinguera trois types de sources :

\begin{list}{$\bullet$}{}

\item Les sources non r\'esolues ( ponctuelles ) :

Ce sont les galaxies trop petites et/ou trop lointaines, dont l'\'etendue
sur les images de r\'ef\'erence est du m\^eme ordre de grandeur que le \seeing.
Le profil consid\'er\'e est \'egalement gaussien, mais de largeur \`a mi-hauteur
\'egale au \seeing\ des images de r\'ef\'erence.

\item Les sources \'etendues uniformes :

Ce sont les galaxies r\'esolues, ne pr\'esentant pas de diff\'erence de couleur
entre leur c{\oe}ur et leurs bras. Cela correspond usuellement \`a des galaxies
ellipiques, n'ayant pas connu de phase de formation stellaire depuis longtemps,
par manque de r\'eservoir de gaz.
Le profil suppos\'e correspond alors au profil moyen d\'eduit des images de 
r\'ef\'erence, dans les filtres couverts par le spectrogramme.

\item Les sources mixtes :

Ce type de source est destin\'e \`a repr\'esenter les galaxies spirales.
Contrairement aux deux types pr\'ec\'edents, qui associent une unique composante 
\`a un objet astrophysique donn\'e, celui-ci d\'ecompose la galaxie en deux
composantes :
Un c{\oe}ur non r\'esolu, et son compl\'ement \'etendu.
La somme des profils des deux composantes \'etant \'egal au profil moyen dans
les filtres couverts.
D'un point de vue algorithmique, lors de l'extraction, ce type de source est 
simplement consid\'er\'e comme deux sources distinctes, l'une \'etant ponctuelle, 
et l'autre \'etant \'etendue.

\end{list}

\paragraph{Mise en {\oe}uvre :\\}

L'impl\'ementation de cette d\'ecomposition du profil galactique, pourtant
unidimensionnel, en sources {\em pertinentes} n'a rien de trivial.
Au terme de multiples essais, j'ai abouti \`a la proc\'edure suivante, ayant 
7 param\`etres ajustables :

\begin{list}{$\bullet$}{}

\item{D\'etection des sources :}

Dans un premier temps, un filtre d'ondelette gaussienne adapt\'ee au \seeing\
des images de r\'ef\'erence est appliqu\'e au profil galactique {\em bolom\'etrique}
(moyenn\'e sur tous les filtres couverts par le spectrogramme).
La position des sources ayant un flux cr\^ete sup\'erieur \`a $N_{\sigma}=8$ fois 
l'erreur statistique sous-jacente est enregistr\'ee.
Si le flux cr\^ete d\'eduit du profil filtr\'e est sup\'erieur \`a $r_g=0.75$ fois
le flux cr\^ete du profil non filtr\'e $F_{max}$, la source est consid\'er\'ee comme 
ponctuelle, et \'etendue sinon (pour une source parfaitement gaussienne, le
rapport est de $1$, par construction de l'ondelette gausienne).
La largeur \`a mi-hauteur des sources est calcul\'ee sur le profil initial, ainsi 
que l'extension \`a droite et \`a gauche des sources \'etendues, au del\`a 
desquelles le flux devient inf\'erieur \`a $q_e = 0.05$ fois $F_{max}$.

\item{Groupement des sources :}

Rien n'emp\^eche de d\'etecter plusieurs sources au sein d'un m\^eme objet
astrophysique (typiquement : le c{\oe}ur et les bras spiraux de part et d'autre).
Pour optimiser l'extraction, il faut d\'efinir le nombre n\'ecessaire et suffisant
de composantes.
Ainsi, l'on veut regrouper les sources spatialement distinctes si elles ont un
spectre identique (tels les bras spiraux de chaque c\^ot\'e du c{\oe}ur).
\`A l'inverse, il faudra dissocier les sources proches ayant des spectres diff\'erents.
Pour minimiser le nombre de sources, on fait l'hypoth\`ese que les sources \'etant
en contact font partie d'un m\^eme objet.
La condition de contact est v\'erifi\'ee si le centre d'une source est inclus dans
l'extension d'une autre (l'extension d'une source ponctuelle est sa largeur \`a
mi-hauteur).
On regroupe ainsi toutes les sources trouv\'ees en quelques objets, compos\'es
d'une ou de plusieurs sources, de types ponctuelle ou \'etendue.

\item{Caract\'erisation des objets :}

Les objets ont \'et\'e obtenus \`a partir du profil galactique {\em bolom\'etrique} 
uniquement, car il continent tout le signal.
Afin de savoir s'ils doivent \^etre dissoci\'es en plusieurs composantes, on se doit 
d'utiliser l'information de couleur contenue dans les profils galactiques pris
dans diff\'erents filtres.
Par souci de simplicit\'e, on fait l'hypoth\`ese que nos objets sont constitu\'es
d'un c{\oe}ur entour\'e de bras spiraux, dont on veut comparer les couleurs :
si elles sont diff\'erentes, leurs spectres le seront aussi. Si elles sont
identiques, leurs spectres le seront probablement aussi.
Ainsi, pour chaque objet, on identifie sa source la plus intense comme \'etant
son c{\oe}ur, ainsi que l'extension totale de toutes les sources le composant.
Une gaussienne adapt\'ee au \seeing, centr\'ee sur la position du c{\oe}ur et
d'amplitude cr\^ete \'egale \`a celle du c{\oe}ur est soustraite du 
profil {\em bolom\'etrique} ($f=bolo=g'+r'+i'$ en 300V), 
ainsi que des profils pris dans chaque filtre ($f \in [g', r', i']$).
Le flux alors contenu \`a l'int\'erieur de l'extension maximale est calcul\'e,
pour les profils r\'esiduels {\em bolom\'etrique} et de chaque filtre.
On peut ainsi en d\'eduire le rapport de flux entre le c{\oe}ur et les bras, en 
moyenne ({\em bolom\'etrique}), et dans chaque filtre.
Une coupure est impos\'ee en premier lieu 
sur le flux $B_{bolo}$ contenu dans les bras, relativement au niveau de bruit
$\sigma_{B}$ et a celui du flux du c{\oe}ur $C_{bolo}$:
\[ \frac{B_{bolo}}{\sigma_{B}} > N_{\sigma B} = 5 \;\;\;{\rm et}\;\;\;
 \frac{B_{bolo}}{C_{bolo}} > r_{b/c}=0.2 \]
pour que l'objet ait une composante \'etendue ;
puis sur la variance $\sigma_c^2 $ du rapport des flux 
${\cal R}_f=\frac{B_f}{C_f}$ (variance de couleur)
\[ \sigma_c^2 = \sum_{f \in \{g', r', i'\}}{({\cal R}_f-{\cal R}_{bolo})^2} 
> ( q_c = 0.15 )^2\]
pour que cette extension soit dissoci\'ee du c{\oe}ur (objet de type mixte).

\item{ Ajout de la \sn\ :}

Enfin, le d\'ecor \'etant pos\'e, la vedette peut appara\^itre.
La \sn\ est incontestablement une source ponctuelle, et l'on pourrait
se contenter d'ajouter une composante ponctuelle \`a la position correspondant
aux coordonn\'ees trouv\'ees photom\'etriquement.
Cependant, si la \sn\ se trouve trop proche du centre d'une galaxie apparaissant 
comme ponctuelle, on cherchera \`a extraire deux composantes gaussiennes 
pratiquement superpos\'ees.
Les profils des composantes seront alors tr\`es corr\'el\'es, et l'algorithme
d'extraction aura toute latitude d'attribuer par exemple un flux n\'egatif \`a la
\sn\ et un flux d\'emesur\'e \`a la galaxie, la somme des deux reproduisant
au mieux un eventuel profil bruit\'e.
On comprend alors qu'un fort bruit anticorr\'el\'e dominera les spectres extraits
d'objets faibles et proches.
Pour \'eviter d'extraire deux composantes {\em d\'eg\'en\'er\'ees} entre elles,
une derni\`ere coupure est consid\'er\'ee, portant sur la s\'eparation entre
le c{\oe}ur de la galaxie h\^ote (la plus proche de la \sn) et la \sn, lorsque
la galaxie est ponctuelle ou mixte :

\[ \frac{| \Yp_s-\Yp_{\rm h\hat{o}te} |}{ seeing} < d_{sep} = 0.2 \]

auquel cas la \sn\ est fusionn\'ee avec la galaxie h\^ote si cette derni\`ere
est de type ponctuel.
Si la galaxie est de type mixte, on tente de conserver la d\'ecomposition 
\sn/galaxie en fusionnant le c{\oe}ur et les bras de la galaxie en un profil
\'etendu.
On s'expose alors \`a avoir un flux n\'egatif pour la \sn\ dans le bleu, qui
permet de compenser la faiblesse relative du c{\oe}ur galactique par rapport
aux bras (en comparaison du profil moyen, bolom\'etrique).

\end{list}

Les valeurs indiqu\'ees des 7 param\`etres $N_\sigma = 8$, $r_g = 0.75$, 
$q_e = 0.05$, $N_{\sigma B} = 5$, \linebreak$r_{b/c} = 0.2$, $q_c = 0.15$ et $d_{sep}=0.2$ 
sont les valeurs par d\'efaut, et peuvent \^etre optionnellement modifi\'ees 
pour appr\'ehender les cas particuliers.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.0cm}
\begin{tabular}[b]{cc}

  \begin{tabular}[b]{c}
  
    \hspace{0.6cm} \fbox{
    \includegraphics[width=5.8cm]{images/slit/03D4ag_WideNeg_slit_rgb.png}} \\
    \includegraphics[width=7cm]{graphs/ExtrProfils/03D4ag_wide_REFextr.png}
  \end{tabular} &

  \begin{minipage}[b]{6cm}
  \caption{ 
  Exemple de d\'efinition des composantes \`a extraire dans le cas de la \sn\ 03D4ag.
  Le profil pointill\'e est le profil {\em bolom\'etrique} calcul\'e d'apr\`es les images
  de r\'ef\'erence (insert du haut). Le profil rouge est le profil spectroscopique int\'egr\'e.
  Une galaxie de champ est identifi\'ee comme un objet \'etendu. La galaxie h\^ote est mixte,
  et la \sn\ est sur le bras gauche (Les sources pontuelles sont repr\'esent\'ees par des 
  fl\`eches).
  $\Delta Y$ est le d\'ecalage calcul\'e entre les profils photom\'etrique et spectroscopique. 
  \label{fig:profil03D4ag}
  }\end{minipage}
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%% ADD %%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Exemples de composantes obtenues
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\paragraph{}
Ces op\'erations pr\'eliminaires de pr\'eparation des composantes \`a extraire
sont impl\'ement\'ees en {\tt Python}.
L'extraction d\'ecrite ci-apr\`es l'est en {\tt C++}.


\subsection{Extraction guid\'ee} 
Pour chaque colonne $F_k(\Yp)=F(\Xp_k,\Yp)$ du spectrogramme combin\'e, 
les profils $\mathcal{C}_i(\Yp)$ de chacune des $N$ composante, ponctuelle ou \'etendue,
sont d\'ecal\'es de $\delta\Yp_k = \alpha \times (\Xp_k-X_0)$ selon \Yp\ pour suivre 
l'inclinaison de la trace, et leur flux total est normalis\'e \`a 1.

Une composante uniforme spatialement est ajout\'ee pour
rendre compte des r\'esidus de soutraction du fond de ciel.

Le flux $f_i$ attribuable \`a chaque composante est estim\'e par 
minimisation du \ki\ : 

\[ \mbox{ soit le mod\`ele} \quad 
\mathcal{M}_k(\Yp) = \sum_i{ f_i \times \mathcal{C}_i(\Yp-\delta\Yp_k)} \]
\[ \mbox{ et le r\'esidu } \quad 
\chi^2=\sum_j \left(\ F_k(\Yp_j)-M_k(\Yp_j)\ \right)^2 \]

La recherche des conditions annulant la d\'eriv\'ee du \ki\ par rapport aux
$f_i$ m\`ene \`a r\'esoudre l'\'equation matricielle :

\[ \left[ \begin{array}{ccc}
    \sum_j \mathcal{C}_0(\Yp_j')^2 & \cdots & \sum_j \mathcal{C}_0(\Yp_j')\mathcal{C}_N(\Yp_j') \\
    \vdots & \ddots & \vdots \\
    \sum_j \mathcal{C}_N(\Yp_j')\mathcal{C}_0(\Yp_j') & \cdots & \sum_j \mathcal{C}_N(\Yp_j')^2 
  \end{array} \right] 
  \left[ \begin{array}{c} f_0 \\ \vdots \\ f_N \end{array} \right] = 
  \left[ \begin{array}{c}
    \sum_j \mathcal{C}_0(\Yp_j')F_k(\Yp_j) \\
    \vdots \\
    \sum_j \mathcal{C}_N(\Yp_j')F_k(\Yp_j) 
  \end{array} \right]
\]

o\`u $\Yp_j' = \Yp_j-\delta\Yp_k $ correspond au changement de variable traduisant 
le d\'ecalage des profils \`a la colonne $k$ d\^u \`a l'inclinaison de la trace. 

\paragraph{Caract\'eristiques du mod\`ele :\\}

Les profils des composantes \'etendues correspondent au profil {\em bolom\'etrique},
forc\'e \`a la positivit\'e.
Il est {\em liss\'e} par convolution avec une gaussienne de largeur \`a mi-hauteur
\'egale \`a la moiti\'e du {\em seeing}, pour en r\'eduire le bruit sans affecter
de trop sa r\'esolution, puis sur\'echantillonn\'e au centi\`eme de pixel pour
pouvoir le d\'ecaler facilement selon \Yp\ par la suite.
Aucune correction n'est apport\'ee pour tenir compte de l'\'evolution du {\em seeing}
avec \lda.

En revanche, le profil des composantes ponctuelles est une gaussienne dont le $\sigma$ 
varie avec \lda, selon une loi de puissance d'indice $\kappa = -0.3$, valeur obtenue 
sur les spectrogrammes d'\'etoiles standard :
\[ \sigma(\lambda) = \sigma_0 \left( \frac{\lambda}{\lambda_0} \right)^{-0.3} \]
Cette valeur diff\`ere de celle calcul\'ee dans le cadre de la th\'eorie des cascades 
turbulentes d'Andre\"i Nikola\"ievich Kolmogorov (1941)\footnote{
{\em Local structure of turbulence in incompressible fluid for very high Reynolds 
numbers}.\\ AN Kolmogorov - Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1941\\
Traduction : RSPSA vol. 434, no. 1890, July 8, 1991, p. 9-13} : $-\frac{1}{5}$, 
mais est identique \`a celle trouv\'ee par S.Blondin lors de la r\'eduction
de spectres FORS1 de \sne\ lointaines \cite{blondin}.

L'extraction n'est effectu\'ee que dans une fen\^etre \'etroite, large de vingt fois le
{\em seeing} effectif, agrandie en fonction de l'inclinaison $\alpha$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LIMITES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Limites de la m\'ethode}
\label{sec:limites}

La technique pr\'esent\'ee a l'avantage d'une relative simplicit\'e (et rapidit\'e 
d'execution), et le potentiel de s\'eparer efficacement le spectre de la \sn\ 
de celui de sa galaxie h\^ote.
Cependant, les hypoth\`eses faites ne sont pas toujours exactes.

\subsection{Chromatisme galactique}
La d\'efinition des composantes tient compte du chromatisme des galaxies spirales,
mais uniquement dans la limite de deux composantes.

Les raies d'\'emission n\'ebulaire proviennent de r\'egions p\'eriph\'eriques de formation 
d'\'etoiles, et dominent le profil \`a leur \lda\ d'\'emission (c.f. Figure \ref{img:chroma}).
Le profil y est alors encore plus excent\'e, et une troisi\`eme composante
serait n\'ecessaire pour pouvoir le reproduire.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{
\subfigure%[]
{\fbox{\includegraphics[angle=90, height=2cm]{images/slit/03D4ai_NarowNeg_slit_rgb.png}}}
\hspace{5mm}
\subfigure[Spectrogramme combin\'e]
{\fbox{\includegraphics[width=5cm, height=2cm]{images/GalacticLines/03D4ai_CombLines.png}}}
\hspace{5mm}
\subfigure[R\'esidu d'extraction]
{\fbox{\includegraphics[width=5cm, height=2cm]{images/GalacticLines/03D4ai_ResiduLines.png}}}
}
\vspace{-3mm}
\caption{ Exemple de chromatisme du profil galactique (cas de 03D4ai) au niveau des 
 raies d'emission de $H_{\beta}$ et de \oiii.
 Les raies sont plus intenses et plus piqu\'ees dans le bras inf\'erieur, h\^ote
 de la \sn, que le profil moyen. 
 La composante \sn\ se charge d'une partie, impun\'ement (ses propres raies sont 
 intrins\`equement plus larges). 
 \label{img:chroma}
}
\end{center}
\end{figure}

Plus subtilement, la vitesse de rotation de galaxies observ\'ees par la tranche
modifie, par effet Doppler, le \lda\ de la lumi\`ere \'emise.
Ainsi, les raies d'\'emission et d'absorption appara\^itront {\em inclin\'ees} sur 
le spectrogramme (le c\^ot\'e approchant est bleui, celui qui s'\'eloigne est rougi).

Ce chromatisme n'est bien s\^ur d\'ecelable que pour les galaxies r\'esolues.
L'inexactitude du mod\`ele se refl\`ete sur le spectrogramme r\'esiduel de 
l'extraction, qui peut \^etre analys\'e post\'erieurement pour mesurer plus 
pr\'ecis\'ement l'intensit\'e des raies n\'ebulaires et la vitesse de rotation radiale.


\paragraph{Galaxies de champ :\\}

Il n'est pas rare qu'une galaxie de champ apparaisse, par projection, en contact avec
la galaxie h\^ote observ\'ee (c.f. Fig. \ref{fig:profil03D1fl} ).
En ce cas, l'algorithme les traite comme un unique objet. 
Si les galaxies sont \`a des distances, \`a des \zs, diff\'erents, leurs couleurs seront
diff\'erentes et l'objet sera de type mixte. La galaxie la plus lumineuse jouera le r\^ole 
de c{\oe}ur ponctuel, et tout ce qu'il reste alentour jouera le r\^ole des bras spiraux.
En particulier, le r\'esidu du c\^ot\'e oppos\'e \`a la galaxie voisine fera partie de la 
m\^eme composante qu'elle.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.0cm}
\begin{tabular}[b]{cc}

  \begin{tabular}[b]{c}
  
    \hspace{0.6cm} \fbox{
    \includegraphics[width=5.8cm]{images/slit/03D1fl_WideNeg_slit_rgb.png}} \\
    \includegraphics[width=7cm]{graphs/ExtrProfils/03D1fl_REFextr.png}
  \end{tabular} &

  \begin{minipage}[b]{6cm}
  \caption{ 
  {\it Exemple de galaxies en contact visuel. La galaxie h\^ote (jaune, \`a droite) 
  se trouve \`a un \z\ de 0.69, tandis que la galaxie de champ, bleue, se trouve \`a 
  un \z\ de 0.32.
  Les deux sont regroup\'ees en un seul objet mixte, dont la composante ponctuelle 
  repr\'esente la galaxie h\^ote, et la composante \'etendue la galaxie de champ, 
  plus une partie de l'extension \`a droite de la galaxie h\^ote.
  La \sn\ est proche du centre de la galaxie h\^ote.
  Une troisi\`eme galaxie de champ est identifi\'ee comme un objet ponctuel. 
  }
  \label{fig:profil03D1fl}
  }\end{minipage}
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{figure}

Ce probl\`eme peut \^etre r\'esolu manuellement en \'editant le fichier fournissant les
profils des composantes au programme d'extraction, pour y mettre \`a z\'ero la partie
ind\'esirable.


\subsection{Erreurs astrom\'etriques}
La principale difficult\'e rencontr\'ee dans l'application de cette technique d'extraction
fut la pr\'ecision des coordonn\'ees de la \sn\ par rapport \`a celles des images profondes 
des champs.
Elle est en effet d\'eterminante pour le calcul de $Y_s$, qui conditionne l'efficacit\'e de l'extraction.

Ainsi, les coordonn\'ees enregistr\'ees dans la base de donn\'ees commune 
franco-canadienne ne sont pas align\'ees avec les derni\`eres versions des images
profondes. Un \'ecart de quelques pixels apparaissait fr\'equemment.

En fait, la minimisation du \ki\ s'accommode d'un \'ecart inf\'erieur \`a 
$\frac{\sigma}{2}$, mais un biais appara\^it \`a cause de la variation de $\sigma$
avec \lda.
D'autre part, le calcul de l'inclinaison $\alpha$ devient hasardeux, puisque le maximum 
de corr\'elation sera d\'etermin\'e par le plus intense de la \sn\ ou de la galaxie,
sujet \`a changer d'un filtre \`a un autre.

L'utilisation des coordonn\'ees recalcul\'ees pour la construction des courbes de 
lumi\`eres, coh\'erantes avec l'astrom\'etrie des images profondes, a r\'eduit
ce probl\`eme.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.0cm}
\begin{tabular}[b]{cc}

  \begin{tabular}[b]{c}
  
    \hspace{0.7cm} \fbox{
    \includegraphics[width=5.8cm]{images/slit/04D1dc_NarowNeg_slit_rgb.png}} \\
    \vspace{2mm}
    \includegraphics[width=7cm]{graphs/ExtrProfils/04D1dc_REFextr.png}
  \end{tabular} &

  \begin{minipage}[b]{6cm}
  \caption{ 
  {\it Exemple d'impr\'ecision astrom\'etrique. L'image du champ ainsi que les profils
  des composantes sont trac\'es dans la fen\^etre d'extraction ($20\ \sigma$ de large) 
  afin de rendre visible l'erreur astrom\'etrique :
  La position de la \sn\ d\'eduite des coordonn\'ees enregistr\'ees dans la base de 
  donn\'ees semble l\'eg\'erement plus proche du c{\oe}ur de la galaxie que celle 
  effectivement pr\'esente dans le spectrogramme.
  En cons\'equence, le profil \'etendu de la galaxie appara\^it d\'ecal\'e \`a droite,
  et la gaussienne de la \sn\ \`a gauche, par rapport au profil spectroscopique. 
  }
  \label{fig:profil04D1dc}
  }\end{minipage}
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{figure}


\subsection{Indiscernabilit\'e}
Une limitation intrins\`eque et irr\'eductible, non sp\'ecifique \`a cette technique, 
provient de la r\'esolution spatiale finie des spectrogrammes :
elle est limit\'ee par la qualit\'e d'image, et toute source moins \'etendue que
le {\em seeing} appara\^itra comme ponctuelle, d\'enu\'ee de tout d\'etail.

En cons\'equence, si la galaxie h\^ote est trop petite et lointaine pour \^etre
r\'esolue, et que la \sn\ n'est pas suffisement excentr\'ee, le couple \sn+galaxie 
sera {\em brouill\'e} en un unique point source.
Toute tentative de s\'eparation des deux composantes sera alors vou\'ee \`a l'\'echec.

C'est le cas de 04D4it, malgr\'e une qualit\'e d'image effective respectable de
$0.81''$ (c.f. Fig. \ref{fig:profil04D4it}).
Plus le \z\ est \'elev\'e, plus ce probl\`eme est r\'epandu. 
Sauf pour les \sne\ dont l'h\^ote est trop faible pour \^etre d\'ecel\'e 
(\sne\ orphelines).

La fusion de ces \sn\ avec leur galaxie ne r\'esoud pas le probl\`eme, puisque l'on
renonce \`a s\'eparer quoi que ce soit.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.0cm}
\begin{tabular}[b]{cc}

  \begin{tabular}[b]{c}
  
    \hspace{0.7cm} \fbox{
    \includegraphics[width=5.8cm]{images/slit/04D4it_NarowNeg_slit_rgb.png}} \\
    \vspace{2mm}
    \includegraphics[width=7cm]{graphs/ExtrProfils/04D4it_REFextr.png}
  \end{tabular} &
  
  \hspace{3mm}

  \begin{minipage}[b]{5.0cm}
  \caption{ 
  {\it Exemple de fusion d'une composante galactique ponctuelle et d'une \sn\ centr\'ee.
  La galaxie de champ proche de la galaxie h\^ote, identifi\'ee comme ponctuelle 
  (GAL2, \`a gauche),
  en est suffisamment s\'epar\'ee pour ne pas y \^etre associ\'ee. 
  En revanche, la \sn\ n'est s\'epar\'ee de l'h\^ote que de $0.1''$, et les deux
  sont fusionn\'es en une unique composante (SNGAL).
  }
  \label{fig:profil04D4it}
  }\end{minipage}
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{figure}


\subsection{G\'eom\'etrie de la trace spectrale}
Enfin, pour terminer par la moindre des limitations, je me dois d'\'evoquer la 
grossi\`ere approximation faite en consid\'erant que la trace spectrale est 
rectiligne, que $\sigma(\lambda)$ ob\'eit \`a la th\'eorie de Kolmogorov, et
que la PSF est gaussienne.

La position de la trace est li\'ee \`a une combinaison de la dispersion 
atmosph\'erique\footnote{Le chromatisme de la r\'efration atmosph\'erique, \`a 
l'origine de ph\'enom\`enes tels que le {\em rayon vert}}
r\'esiduelle (non corrig\'ee par l'{\em Atmospheric Dispersion Compensator} qui \'equipe
les t\'elescopes modernes), et de la torsion entre le grisme et le CCD.
Pour FORS1, cette torsion est vraisemblablement n\'egligeable.

La largeur de la trace, elle, est une combinaison de $\sigma(\lambda)$ et des 
aberrations optiques de l'instrument.

Lors de l'extraction du spectre des \'etoiles standard par la m\'ethode des moments, 
la position et la largeur de la PSF sont estim\'ees en chaque \lda.
Cet \'echantillon d'observations de sources brillantes permet de quantifier 
l'impr\'ecision de notre mod\`ele (c.f. Fig. \ref{fig:tracefit}).


\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.5cm}
\includegraphics[width=7.5cm]{graphs/HD49798_Ypos.png}
\includegraphics[width=7.5cm]{graphs/HD49798_fwhm.png}
}
\caption{
{\bf \`A gauche :} Position du centre de la trace spectrale de l'\'etoile
standard HD49798, observ\'ee la m\^eme nuit que 04D4it. Le centro\"ide correspond
au premier moment centr\'e.
{\bf \`A droite :} \'Etalement (FWHM) de la trace, estim\'e gr\^ace au second
moment centr\'e. L'ajustement par une loi de puissance donne 
$FWHM=4.77\times \left( \frac{\lambda}{\lambda_0} \right)^{-0.35}\ pixel$, avec 
$\lambda_0 = 6473.36\ \angstr$ en $X_0$. \label{fig:tracefit}
}
\end{center}
\end{figure}

On constate qu'effectivement, la th\'eorie de Kolmogorov n'est pas vraiment ad\'equate, 
et que l'indice de la loi de puissance est plut\^ot de $-0.3$.
La position de la trace n'est pas exactement lin\'eaire, et serait mieux reproduite
par une parabole.
Cependant, l'\'ecart \`a la lin\'earit\'e est faible ($< 0.1\ pixel$), et dans le cas
de faibles flux il est improbable de bien estimer une parabole avec nos 3 d\'ecalages.

La contamination par le second ordre de diffraction est \'evidente au-del\`a de 
$8200\ \angstr$ pour cet objet tr\`es bleu, mais sera compl\'etement n\'egligeable
pour les \sne\ lointaines, faibles et rougies. 

\paragraph{}
On d\'etaillera dans la prochaine section la mani\`ere de raffiner les \`a priori  sur 
$\alpha$, $\sigma_0$ et $\kappa$, et \`a quel point la PSF s'\'eloigne d'un profil 
gaussien.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% RESIDUS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Utilisation des r\'esidus}
\label{sec:residus}

Disposant des spectres estim\'es d'apr\`es les \`a prioris, il est possible de
soustraire le mod\`ele bidimensionnel correspondant du spectrogramme combin\'e.
On obtient ainsi le spectrogramme r\'esiduel, diff\'erence entre les donn\'ees
combin\'ees et le mod\`ele estim\'e.

L'inspection de ces r\'esidus renseigne sur les \'eventuelles impr\'ecisions
des \`a priori , et ouvre la voie \`a leur correction (de mani\`ere similaire
\`a ce qui a \'et\'e pr\'esent\'e pour la caract\'erisation des raies photosph\'eriques
des \'etoiles standard, une gaussienne rempla\c{c}ant la lorentzienne).

La proc\'edure s'applique aux spectrogrammes de science comme aux spectrogrammes 
d'\'etoiles standard. Dans ce dernier cas, la quantit\'e de signal et l'absence
d'objets de champs la rend plus robuste.
Les exemples illustratifs seront donc emprunt\'es aux \'etoiles standard. 

\subsection{Int\'egration par r\'egions}
Afin d'accro\^itre le signal r\'esiduel par rapport au niveau de bruit, le spectrogramme
r\'esiduel est int\'egr\'e selon \Xp\ dans des r\'egions telles que le signal 
obtenu soit $N_{\sigma}=20$ fois le niveau de bruit.

En fait, comme le signal r\'esiduel peut \^etre n\'egatif ou positif, le niveau de 
signal est d\'efini comme la somme des valeurs absolues des pixels d\'eviant de plus
d'une fois le bruit propag\'e local, et le niveau de bruit comme la somme quadratique 
du bruit propag\'e des pixels composant le niveau du signal.
Ce crit\`ere est atteint pour un pur bruit gaussien en $1.355\times N_{\sigma}^2$, 
soit pour 540 pixels avec une coupure \`a 20, ou une dizaine de colonnes pour une
fen\^etre d'extraction large de 50 pixels ($FWHM=5pixel=1''$).

Pour les spectrogrammes d'\'etoile standard, un rapport de 200 est utilis\'e, mais l'on
pourrait aussi bien s'abstenir d'int\'egrer.

\subsection{Correction de la position}
Dans l'hypoth\`ese d'une PSF gaussienne $\mathcal{N}$, d'intensit\'e totale $I$ et 
d'\'ecart-type $\sigma$, une erreur $\delta y$ sur 
la position $Y_s$ du point source se traduit sur le spectrogramme r\'esiduel par un 
profil selon \Yp\ proportionnel \`a la d\'eriv\'ee selon \Yp\ de la PSF.
Le coefficient de proportionnalit\'e est oppos\'e au d\'ecalage $\delta y$ dans une
approximation lin\'eaire valable pour de petits d\'ecalages ($\delta y \ll \sigma$):

\[ \mbox{soit }\ y=\Yp-Y_s \ \mbox{, et }\ 
g(\sigma, y)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{\sigma}\right)^2 }
\mbox{ la gaussienne normalis\'ee ; } \]
\[ \mbox{pour une PSF {\em vraie} : } \mathcal{N}=I\,g(\sigma, y)
\mbox{ et une PSF {\em mod\`ele} : } \mathcal{M}=I\,g(\sigma, y-\delta y) \mbox{ ,}\]
\[ \mbox{le r\'esidu vaut } \mathcal{R}=\mathcal{N}-\mathcal{M}=\delta y\, I\, 
\frac{\partial g}{\partial y} = -\delta y\frac{I}{\sigma^3 \sqrt{2\pi}}
y\,e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{\sigma}\right)^2} \]

Si l'on d\'efinit le calibre $\mathcal{Q}_y$ adapt\'e \`a la quantification des 
$\delta y$:

\[ \mathcal{Q}_y(y) = y\,e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{\sigma}\right)^2} \]

et sa {\em norme} comme l'int\'egrale de son carr\'e $q_y = \int Q_y(y)^2\,dy$, 
l'int\'egrale du produit du calibre avec le r\'esidu s'\'ecrit :

\[ \int \mathcal{R}(y)\mathcal{Q}_y(y)\,dy = -\delta y \frac{I}{\sigma^3\sqrt{2\pi}}
\int Q_y(y)^2\,dy = -\delta y \frac{ I q_y}{\sigma^3\sqrt{2\pi}} \]

Donc, {\em \`a supposer une PSF gaussienne}, dont on connait les param\`etres $Y_s$ et
$\sigma$ \`a priori, et $I$ par extraction de PSF, on peut calculer le calibre 
$\mathcal{Q}_y$, sa tare $q_y$, et l'int\'egrale de son produit avec le profil r\'esiduel.
En multipliant cette derni\`ere par $n_y = \frac{\sigma^3\sqrt{2\pi}}{ I q_y}$, on obtient
la correction $-\delta y$ a appliquer \`a l'\`a priori $Y_s$.

Lorsque $\delta y$ n'est pas n\'egligeable devant $\sigma$, le r\'esidu n'est plus
proportionnel \`a la d\'eriv\'ee (au calibre), et l'estimateur devient non-lin\'eaire.

\paragraph{V\'erification sur l'\'etoile standard HD49798 :\\}

Pour tester cet estimateur, voyons l'effet d'une m\'esestimation volontaire de 
1 pixel, pour le spectrogramme de l'\'etoile standard HD49798, acquise 7h30 apr\`es
04D4it (c.f. Fig. \ref{img:posfit}).
Les \`a prioris de d\'epart $Y_s$, $\alpha$, $\sigma_0$ et $\kappa$ sont calcul\'es 
d'apr\`es les moments des profils int\'egr\'es dans 10 r\'egions selon \Xp.
Un d\'ecalage $\delta y$ de 1 pixel ($\sim \frac{\sigma_0}{2}$) est introduit avant 
l'extraction de PSF d'une seule composante gaussienne (cas des \'etoiles standard).
On fait l'hypoth\`ese que l'\'echantillonnage est suffisant, pour utiliser la valeur
du calibre au centre du pixel plut\^ot que son int\'egrale sur la hauteur du pixel. 

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
\hspace{-1.0cm}
\begin{tabular}[b]{c}
  {\bf Illustration de la correction de $Y_s$, avec $\delta Y=1\ pixel$.}\\
  \includegraphics[width=14cm]{images/residu/Std_dy1_resgrid.png}  \\
  \begin{tabular}[b]{ccc}
    \includegraphics[width=5cm]{graphs/Std_dy1_rescut.png} &
    \includegraphics[width=5cm]{graphs/Std_dy1_fitpos.png} &
    \includegraphics[width=5cm]{graphs/Std_dy_on_spec.png} 
  \end{tabular}
\end{tabular}
}
%\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it 
{\bf Image : } Grille des r\'esidus obtenus en r\'e\'echantillonnant selon \Xp\ en
228 r\'egions, dans la fen\^etre d'extraction \`a $\pm 5\ FWHM$ (52 pixels selon \Yp). 
{\bf \`A gauche : } Coupe selon \Yp, en $X_0$, et le calibre utilis\'e, centr\'e sur la 
position \`a priori $Y_s$ (en pointill\'es), et de $\sigma$ \'egal \`a celui estim\'e 
sur le profil int\'egr\'e. Le calibre est arbitrairement amplifi\'e.
{\bf Au centre : } Ajustement lin\'eaire des produits normalis\'es 
$n_y \int \mathcal{R}\times\mathcal{Q}_y$ en fonction de \Xp.
Les barres d'erreur sont inversement proportionnelles \`a la racine du rapport 
[flux extrait / bruit propag\'e] dans la r\'egion (du {\em poids} assign\'e aux 
r\'egions lors de l'ajustement). 
Leur normalisation est arbitraire.
{\bf \`A droite : } Effet de l'impr\'ecision $\delta y$ sur le spectre extrait par
PSF gaussienne. Le rapport moyen entre le spectre extrait {\em original} et celui 
affect\'e est de $0.94$.}
\label{img:posfit}
}
\end{center}
\end{figure}

On constate que l'algorithme fonctionne bien, m\^eme pour un d\'ecalage de 
$\sim \frac{\sigma}{2}$, $20 \%$ du {\em seeing} $w_0$.
La correction estim\'ee comme la valeur de l'ajustement selon \Xp\ en $X_0$ est 
de $-0.96\ pixel$, \`a $4 \%$ de l'impr\'ecision introduite 
(c.f. Fig. \ref{img:posfit}-b).
L'effet du d\'ecalage sur le spectre extrait est une sous-estimation de $6 \%$ en
moyenne, faible compar\'ee \`a l'amplitude de l'erreur.

Il appara\^it \'egalement que la coupe du r\'esidu n'est pas homoth\'etique par
rapport au calibre.
Cela d\'enote que l'approximation gaussienne n'est pas exacte. 

\paragraph{Correction de l'inclinaison :\\}

L'ajustement r\'ealis\'e sur la correction estim\'ee en chaque \Xp\ fournit
la correction \`a appliquer \`a $Y_s$, mais aussi \`a l'inclinaison $\alpha$.

En fait, il est plus sain de corriger d'abord l'estim\'ee de $Y_s$, puis de 
recommencer l'exercice pour corriger $\alpha$ s\'epar\'ement.
On \'evite ainsi les possibles d\'erives d\^ues \`a la m\'esestimation de $Y_s$
et \`a la non-lin\'earit\'e de l'estimateur.


\subsection{Correction du {\em seeing}}
On proc\`ede de mani\`ere similaire pour estimer l'impr\'ecision $\delta \sigma$ sur 
$\sigma_0$, et $\delta \kappa$ sur $\kappa$.
Pour un mod\`ele $\mathcal{M}$ affect\'e d'une impr\'ecision $\delta \sigma$, on
\'ecrit cette fois :
\[ \mathcal{M}=I\,g(\sigma+\delta \sigma, y) \]
\[ \mathcal{R}=\mathcal{N}-\mathcal{M}=-\delta \sigma\, I\, 
\frac{\partial g}{\partial \sigma} = -\delta \sigma\, I\, \frac{g(\sigma,y)}{\sigma}
\left[ \left(\frac{y}{\sigma}\right)^2-1 \right] \]

Le calibre $\mathcal{Q}_{\sigma}$ adapt\'e devient
$ \mathcal{Q}_{\sigma}(y) = \left[ \left(\frac{y}{\sigma}\right)^2-1 \right]\,
e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{\sigma}\right)^2} $, dont la norme vaut $q_{\sigma}$. 
Celle du r\'esidu avec le calibre vaut alors 

\[ \int \mathcal{R}(y)\mathcal{Q}_{\sigma}(y)\,dy = 
-\delta \sigma\, \frac{I\,q_{\sigma}}{\sigma^2\sqrt{2\pi}} \]

Une fois encore, le calcul de cette int\'egrale, normalis\'e par 
$n_{\sigma} = \frac{\sigma^2\sqrt{2\pi}}{I\,q_{\sigma}}$ fournit la correction \`a
apporter \`a $\sigma_0$, en chaque r\'egion.
L'ajustement de ces corrections en fonction de \lda\ permet d'estimer la correction
$\delta \sigma_0$ en $X_0=\Xp(\lambda_0)$.
Un d\'eveloppement lin\'eaire de $\sigma(\lambda)$ fournit la correction \`a effectuer
sur $\kappa$ en fontion de la pente $b$ de l'ajustement :

\[ \delta\kappa= \frac{b\,\lambda_0-\delta\sigma_0\,\kappa}{\sigma_0+\delta\sigma_0}\] 

Les r\'esultats obtenus pour une surestimation volontaire du {\em seeing} $w_0$ de 
$\delta w=0.5\ pixel$ ($\sim 10 \%$ de $w_0$) sont pr\'esent\'es en figure 
\ref{img:fitwid}.

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.0cm}
\begin{tabular}{c}
  {\bf Illustration de la correction de $\sigma_0$, avec $\delta \sigma=0.5\ pixel$.}
  \vspace{1ex}\\
  \begin{tabular}{ccc}
    % \includegraphics[scale=2.5, viewport= 0pt -5pt 35pt 40pt]{graphs/Std_dw1_resgrid.png} &
    % \vspace{-3mm} 
    \includegraphics[width=3cm]{graphs/Std_dw1_resgrid.png} &
    \includegraphics[width=5cm]{graphs/Std_dw1_rescut.png}  &
    \includegraphics[width=5cm]{graphs/Std_dw1_fitwid.png}
  \end{tabular}
\end{tabular}
}
%\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it (Idem Fig. \ref{img:posfit})
{\bf Image : } Grille des r\'esidus obtenus en r\'e\'echantillonnant selon \Xp\ en
47 r\'egions. 
{\bf Au centre : } Coupe selon \Yp, en $X_0$, et le calibre $\mathcal{Q}_{\sigma}$
utilis\'e. 
{\bf \`A droite :} Ajustement lin\'eaire des corrections 
$n_{\sigma} \int \mathcal{R}\times\mathcal{Q}_{\sigma}$ en fonction de \lda.
}
\label{img:fitwid}
}
\end{center}
\end{figure}

On constate que la correction n'atteint que $60 \%$ de l'impr\'ecision. Ceci est d\^u
\`a l'hypoth\`ese de PSF gausienne, alors que la vraie PSF a des {\em ailes} plus
larges (qui apparaissent sur le r\'esidu au-del\`a de $FWHM \sim 5\ pixel$ du centre :
il redevient positif).

Le spectre extrait en surestimant ainsi $\sigma_0$ est aussi surestim\'e, de $5 \%$.
L'extraction de PSF est donc plus sensible \`a une mauvaise estimation de $\sigma_0$
que de $Y_s$, et le calibre $\mathcal{Q}_{\sigma}$ moins efficace que $\mathcal{Q}_y$.


\subsection{Correction it\'erative}
Ces corrections sont r\'ep\'et\'ees successivement ($Y_s$, $\alpha$ puis $\sigma_0$ 
et $\kappa$), jusqu'\`a ce qu'elles soient petites ($\sim 10\%$) par rapport \`a 
leur impr\'ecision propre, estim\'ee lors des ajustements, ou qu'elles oscillent.
L'extraction est refaite \`a chaque actualisation des \`a priori.

Pour l'\'etoile standard pr\'esent\'ee, la convergence est obtenue en une it\'eration
pour la position et la largeur, et en trois pour l'inclinaison.
Les correction apport\'ees sont minimes car les \`a prioris, obtenus d'apr\`es 
les profils int\'egr\'es dans 10 r\'egions, sont d\'ej\`a bons.
La correction a pour effet de se {\em focaliser} sur le c{\oe}ur du profil.
La table \ref{fig:stditer} r\'esume les corrections obtenues :

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
\hspace{-5mm}
\begin{tabular}[b]{ccc}

  \includegraphics[height=28mm]{graphs/Std_simple_resgrid.png} &
  \begin{tabular}[b]{l|ll|ll}
    \hline
    \raisebox{1ex}{\rule{0pt}{2ex}}
    Variable & $Y_s$ (pixel) & $\alpha$ ($10^{-3}$) & $ w_0$ (pixel) &  $\kappa$ \\
    \hline\hline
    Iterations & 1 & 3 & 1 & 1 \\
    \hline
    Originale  & 100.34  &  0.348 &  4.771  & -0.348 \\
    Correction &  +0.01  & -0.006 & -0.038  & -0.013 \\
    Finale     & 100.35  &  0.342 &  4.733  & -0.361 \\
    \hline
  \end{tabular} &
  \includegraphics[height=28mm]{graphs/Std_iter_resgrid.png}
\end{tabular}
}
\caption{
{\it 
{\bf Image de gauche:} R\'esidus originaux, r\'e\'echantillonn\'es en 41 r\'egions, 
d\'evoilant l'\'ecart de la vraie PSF au meilleur mod\`ele gaussien.
{\bf Table :} Corrections calcul\'ees pour l'extraction du spectre de HD49798.
{\bf Image de droite:} R\'esidus finaux, r\'e\'echantillonn\'es en 42 r\'egions, 
tr\`es proches des originaux.}
\label{fig:stditer}
}
\end{center}
\end{figure}

L'effet des corrections sur le spectre extrait est n\'egligeable ($-0.4 \%$, imputable 
\`a la r\'eduction de $\sigma_0$), de m\^eme que sur l'\'ecart-type des r\'esidus 
($-0.7 \%$).
On les effectue tout de m\^eme lors de l'extraction des spectres d'\'etoiles
standard, pour minimiser les r\'esidus dans le cadre de l'hypoth\`ese d'une PSF
gaussienne.
En effet, comme l'\`a priori est initalement construit d'apr\`es les profils int\'egr\'e
dans $\sim 200\ pixels$, l'\'etalement risque \^etre surestim\'e \`a cause de 
l'inclinaison de la trace.

L'amplitude maximale des r\'esidus dans une colonne est d'environ $1.4 \%$ du flux total
($\sim 930/67000$), le flux r\'esiduel moyen est de $\sim+0.3\%$ (220/67000), 
et l'\'ecart-type est de $0.7 \%$ (470/67000), provenant principalement de la 
non-gaussiannit\'e de la PSF (c.f. Fig. \ref{fig:profils}).
La courbure de la trace est ici secondaire, sauf aux \lda\ extr\^emes, o\`u le
flux est faible (c.f. Fig. \ref{img:posfit}-b).
Pour r\'eduire d'avantage les r\'esidus, il faut raffiner le mod\`ele de la trace 
(coefficients polynomiaux d'ordre superieur) et celui de la PSF 
(base de fonction ayant plus de param\`etres, i.e. les fonctions Moffat qui peuvent
\^etre piqu\'ees et \'etendues, avec 3 param\`etres).

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{ %\hspace{-0.0cm}
\begin{tabular}[b]{cc}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/Std_ProfilComp.png} &
\begin{minipage}[b]{3cm}
\caption{
{\it Comparaison du profil int\'egr\'e dans la r\'egion de $X_0$ avec
le mod\`ele gaussien estim\'e, et le profil lorentzien de m\^eme
int\'egrale et largeur \`a mi-hauteur.
}
\label{fig:profils}
}\end{minipage}
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{figure}


\paragraph{Application aux \sne\ :\\}

Dans le cas des spectrogrammes de \sn, le niveau du signal est bien moindre, et la 
source n'est g\'en\'eralement pas seule.
On peut donc craindre un comportement chaotique de la correction it\'erative, induit
par le bruit, ou d\'eviant, \`a cause d'un h\^ote chromatique proche, mal soustrait,
qui polluerait l'estimation de la correction.

Cependant, les \`a prioris obtenus par le {\em seeing} synth\'etique d\'eriv\'e des 
observations de l'\'etoile guide et par l'ad\'equation spectro-photom\'etrique sont
vraisemblablement moins pr\'ecis que ceux obtenus directement du spectrogramme pour
les \'etoiles standard.
L'indice $\kappa$ est impos\'e \`a $-0.2$, alors qu'il vaut plut\^ot $-0.3$ d'apr\`es
les observation d'\'etoiles standard.
En fait, celles-ci \'etant prises avec des temps d'exposition courts 
(de $0.7s$ \`a $3min$), les propri\'et\'es de leur PSF risquent d'\^etre 
diff\'erentes de celles d'une observation de $15min$, \`a cause de la turbulence et/ou 
du guidage.
Il arrive de voir des PSF asym\'etriques, voir d\'edoubl\'ees.
 
La correction iterative n'est pas appliqu\'ee syst\'ematiquement aux spectrogrammes
de \sne. Elle est n\'eanmoins applicable au cas par cas si le spectrogramme r\'esiduel
montre une impr\'ecision flagrante.
En g\'en\'eral, la r\'eduction des r\'esidus est imperceptible, noy\'ee dans le bruit.

Dans le cas de 04D4it, la faiblesse du signal et la pr\'esence d'une galaxie proche sont 
de mauvaise augure. Toutefois, la correction iterative converge relativement sainement.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.5cm}
\begin{tabular}{c}

  \begin{minipage}[c]{5cm}
  \includegraphics[width=5cm]{graphs/04D4it_direct_resgrid.png}
  \end{minipage}
  $\quad \Rightarrow \quad$
  \begin{minipage}[c]{5cm}
  \includegraphics[width=5cm]{graphs/04D4it_iter_resgrid.png}
  \end{minipage} \\
  \\
  \begin{tabular}{l|ll|ll}
    \hline
    \raisebox{1ex}{\rule{0pt}{2ex}}
    Variable & $Y_s$ (pixel) & $\alpha$ ($10^{-3}$) & $ w_0$ (pixel) &  $\kappa$ \\
    \hline\hline
    Iterations & 2 & 3 & 2 & 2 \\
    \hline
    Originale  & 96.83 & -1.588 &  4.131  & -0.200 \\
    Correction & -0.32 & +0.769 & -0.015  & +0.402 \\
    Finale     & 96.51 & -0.819 &  4.116  & +0.202 \\
    \hline
  \end{tabular}
\end{tabular}
}
\caption{
{\it 
{\bf Image de gauche:} R\'esidus originaux, r\'e\'echantillonn\'es en 125 r\'egions
de 42 lignes. 
{\bf Image de droite:} R\'esidus finaux, r\'e\'echantillonn\'es en 126 r\'egions.
{\bf Table :} Corrections calcul\'ees pour l'extraction de la \sn\ 04D4it.}
\label{fig:speciter}
}
\end{center}
\end{figure}

Le spectre extrait apr\`es correction est l\'eg\'erement plus faible ($-7 \%$), 
et pr\'esente une variance plus grande.
L'\'ecart-type des r\'esidus sur toute la fen\^etre d'extraction passe vaillement 
de $3.995\ ADU$ \`a $3.990$, une baisse de $0.1 \%$.
L'obtention d'un indice $\kappa$ positif est r\'ev\'elatrice de la fiabilit\'e
douteuse de la correction \`a bas signaux.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% NORMALISATION %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Les touches finales}
\label{sec:touchesfinales}

L'extraction des $ADUs$ correspond au gros {\oe}uvre, posant les bases des
spectres finaux.
Une fois satisfait de ces bases, il convient de les calibrer, de v\'erifier
la validit\'e des hypoth\`eses faites, et de finaliser le conditionnement
des produits finaux.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Normalisation et Calibration}

La calibration est destin\'ee \`a exprimer les flux estim\'es en unit\'es 
physiques standard ($erg/s/m^2/\angstr$), {\em via} la fonction de r\'eponse.

Ensuite, la normalisation consiste \`a corriger ce flux de l'effet des agents 
intervenants : l'extinction atmosph\'erique, l'absorption tellurique et les pertes 
de fente.
L'extinction est tabul\'ee, l'absorption a \'et\'e estim\'ee lors du calcul
de la r\'eponse, et les pertes de fente sont calcul\'ees d'apr\`es le {\em seeing},
$\kappa$, et la largeur de la fente.

\paragraph{La r\'eponse instrumentale :\\}

J'ai d\'etaill\'e dans la section \ref{sec:recettes} comment une unique fonction 
de r\'eponse a \'et\'e construite pour chaque couple grisme+filtre et pour chaque
t\'elescope d'apr\`es les observations d'\'etoiles standard.
Elles sont utilis\'ees ici, telles quelles, et tant qu'elles d\'epassent 
$10^{-3} ADU/(10^{-16}erg/cm^2)$.

Chaque spectre extrait est divis\'e par le temps d'exposition et par l'intervalle de
\lda\ des pixels, puis par la fonction de r\'eponse. 
Le m\^eme traitement est appliqu\'e aux spectres du bruit propag\'e.
%, et \`a la composante galactique.

On obtient ainsi un flux mesur\'e en $10^{-16}erg/cm^2/s/\angstr$.

\paragraph{L'extinction atmosph\'erique :\\}

L'extinction atmosph\'erique est calcul\'ee avec le m\^eme mod\`ele que celui 
utilis\'e pour corriger les spectres d'\'etoile standard.
Ceci est important, car la fonction de r\'eponse a \'et\'e calcul\'ee pour cette
fonction d'extinction.
Une fonction d'extinction diff\'erente aboutirait \`a une fonction de r\'eponse 
diff\'erente. Elles vont donc de paire.

L'extinction $E(\lambda)$ est exprim\'ee en magnitudes absorb\'ees, pour une
masse d'air unitaire (observation au z\'enith).
Le flux est donc multipli\'e par $10^{\frac{X E(\lambda)}{2.5}}$, $X$ \'etant la
masse d'air moyenne de l'observation\footnote{calcul\'ee comme
$X=\frac{1}{N_{img}}\sum_{img} \frac{X_{debut}+X_{fin}}{2}$, avec $X_{debut}$ et 
$X_{fin}$ pris dans les en-t\^etes : {\tt TEL AIRM START} et {\tt END}.}.

\paragraph{L'absorption tellurique :\\}

On a aussi vu en section \ref{sec:recettes} que le spectre d'absorption par les 
mol\'ecules de vapeur d'eau et de dioxyg\`ene est tr\`es variable, en particulier 
pour la vapeur d'eau.

Pour chercher d'eventuelles corr\'elations permettant d'anticiper ces fluctuations,
on d\'efinit l'intensit\'e d'absorption par chaque mol\'ecule comme la largeur 
\'equivalente\footnote{La largeur qu'aurait la raie si elle absorbait tout le flux
dans un intervalle de \lda.} du spectre d'absorption dans les bandes propres \`a la 
mol\'ecule, pour chaque spectre de r\'ef\'erence.
Cette intensit\'e est trac\'ee en fonction des conditions ambiantes de l'observation
conserv\'ees dans les en-t\^etes (temp\'erature, pression, humidit\'e).
Le bon sens s'attend \`a une corr\'elation entre l'intensit\'e d'absorption de 
la vapeur d'eau et l'humidit\'e ambiante mesur\'ee par la station m\'et\'eo
du Cerro Paranal.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{ %\hspace{-0.5cm}
\includegraphics[width=6cm]{graphs/AbsTrend_H2O.png}
\includegraphics[width=6cm]{graphs/AbsTrend_O2.png}
}
\caption{ 
{\it {\bf \`A gauche :} Largeur \'equivalente ($EW$) d'absorption par $H2O$, en 
fonction de l'humidit\'e relative ambiante lue dans les en-t\^etes des spectrogrammes 
d'\'etoiles standard.
{\bf \`A droite :} Largeur \'equivalente d'absorption par $O2$, en fonction de 
la masse d'air $X$ lue dans les en-t\^etes des spectrogrammes d'\'etoiles 
standard.}
\label{fig:humid}
}
\end{center}
\end{figure}

En fait, une telle corr\'elation n'appara\^it que de mani\`ere marginale 
(c.f. Fig. \ref{fig:humid}), car la station mesure l'humidit\'e au sol, alors que 
le spectre subit celle de toutes les couches atmosph\'eriques travers\'ees.

La seule autre corr\'elation visible lie l'absorption par $O2$ et la masse d'air
de l'observation.
Comme la masse d'air des observations de science est impos\'ee \`a moins de 1.4,
et que la dispersion autour de l'ajustement dans cet intervalle est du m\^eme ordre
que l'excursion de l'ajustement (5.4 \AA), on pr\'ef\`ere utiliser un spectre
d'absorption unique pour toutes les observations.
On proc\`ede de m\^eme pour $H2O$.

Cela permet de corriger la majeur partie de l'absorption, avec une hypoth\`ese simple
(et simpliste), facilement r\'eversible.

\paragraph{Les pertes de fente :\\}

Contrairement \`a ce qui est fait lors du calcul des fonctions de r\'eponse, les
pertes de fentes sont estim\'ees, non pas \`a partir du spectrogramme, mais
\`a partir du {\em seeing} effectif estim\'e, en supposant une PSF gaussienne centr\'ee
dans la fente et un indice $\kappa=-0.2$.

\`A chaque \lda, la fraction $f_{perte}$ du flux bloqu\'e par la fente par rapport 
\`a celle transmise est calcul\'ee num\'eriquement.
Le spectre est alors multipli\'e par $1+f_{perte}$ pour lui {\em rendre} le flux
bloqu\'e.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{ %\hspace{-1.5cm}
\begin{tabular}[b]{cc}
\includegraphics[width=9cm]{graphs/04D4it_Calibs.png} & 
\begin{minipage}[b]{4cm}
\caption{ 
{\it Fonctions de calibration en flux utilis\'ees pour 04D4it, avec $X=1.034$,
un {\em seeing} de $0.83''$ en $X_0$ et une fente de $1''$.
Les fonctions d'extinction, d'absorption et de pertes sont exprim\'ees en
magnitudes absorb\'ees.
La largeur du trait des fonctions de r\'eponse et d'absorption materialisent 
l'\'ecart-type estim\'e.
}
\label{fig:speccalib}
}\end{minipage}
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{figure}

L'ensemble de ces fonctions de calibration et de normalisation sont conserv\'ees
dans l'extension {\tt CALIBS} du spectrogramme r\'esiduel.
Leur contributions respectives sont pr\'esent\'ees en figure \ref{fig:speccalib},
ainsi que la normalisation totale, effective, pour la \sn\ 04D4it.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Pond\'erations et Masques}

Au cours des multiples \'etapes aboutissant au spectre extrait, nombre de
quantit\'es interm\'ediaires sont estim\'ees, tels le spectre du ciel, 
les profils int\'egr\'es ou le spectre d'absorption tellurique.
Que l'estimation soit obtenue par moyenne simple, robuste, ou par minimisation
du \ki, une pond\'eration est syst\'ematiquement appliqu\'ee, pour donner moins
de poids aux donn\'ees les plus incertaines.

Si l'on dispose d'une estimation de l'\'ecart-type $\sigma_i$ des donn\'ees, 
ce qui est le cas pour les variables internes, on d\'emontre qu'une pond\'eration
par $\omega_i = \frac{1}{\sigma_i^2}$ fournit le plus faible \'ecart-type du r\'esultat,
\`a condition que l'\'ecart-type soit bien estim\'e.
C'est la pond\'eration g\'en\'eralement utilis\'ee, sauf pour le mod\`ele
de spectre du ciel (les spectres par r\'egion sont pond\'er\'es par la hauteur
de la r\'egion et inversement \`a leur distance du centre $Y_s$), 
et pour l'ajustement des r\'esidus (pond\'eration par le rapport du flux extrait
sur le bruit propag\'e).

L'incertitude du r\'esultat est calcul\'ee comme la somme quadratique des incertitudes
individuelles, \'egalement pond\'er\'ees, lorsqu'il s'agit d'une moyenne (avec
l'hypoth\`ese d'\'ev\'enements ind\'ependants).
Dans la cas de la minimisation du \ki, les poids $\omega_i$ sont introduits dans le 
\ki. Par exemple, l'ajustement selon $x$ de donn\'ees $D_i$ par un mod\`ele lin\'eaire 
\`a deux param\`etres 
$\mathcal{M}(\alpha, \beta, x)=\alpha \mathcal{A}(x) + \beta \mathcal{B}(x)$ s'\'ecrit :

\[ \chi^2 = \sum_i \omega_i \, [\, D_i - \mathcal{M}(\alpha,\beta, x_i)\, ]^2 \]
\[ \hspace{-0.5cm} \frac{\partial \chi^2}{\partial \alpha} = 
\frac{\partial \chi^2}{\partial \beta} = 0
\Rightarrow 
\left[ \begin{array}{cc}
    \sum_i \omega_i \mathcal{A}(x_i)^2 & 
    \sum_i \omega_i \mathcal{A}(x_i) \mathcal{B}(x_i)  \\
    \sum_i \omega_i \mathcal{B}(x_i) \mathcal{A}(x_i) &
    \sum_i \omega_i \mathcal{B}(x_i)^2
  \end{array} \right] 
  \left[ \begin{array}{c} \alpha \\  \beta \end{array} \right] = 
  \left[ \begin{array}{c}
    \sum_i \omega_i \mathcal{A}(x_i) D_i \\
    \sum_i \omega_i \mathcal{B}(x_i) D_i
  \end{array} \right]
\]

La matrice de gauche est appel\'ee la matrice des poids, et son inverse correspond \`a
la matrice des variances-covariances des param\`etres calcul\'es $\alpha$ et $\beta$.
On dispose ainsi d'une incertitude associ\'ee aux param\`etres estim\'es, qui servira
par la suite \`a pond\'erer une nouvelle estimation ou \`a d\'efinir un crit\`ere de
convergence.

\paragraph{Cas des points aberrants :\\}

Malgr\'e le soin apport\'e au traitement des donn\'ees, il arrive qu'un flux soit 
n\'egatif, ou incroyablement \'elev\'e.
Les bords des images, les impuret\'es profondes dont la transparence est surestim\'ee 
par le champ plan $f$ \`a cause des {\em fuites de charges} provenant des pixels 
contigus bien illumin\'es, sont des lieux privil\'egi\'es de telles aberrations.

Avec des rustines adapt\'ees (i.e. un test que $f>0.01$), ces points se voient 
simplement affect\'es un poids nul, qui annulera leur contribution \`a l'estim\'ee.
En pratique, on essaye de limiter les aberrations au plus t\^ot dans la cha\^ine
de r\'eduction (i.e. forcer \`a 1 les valeurs n\'egatives des champs plans).

\begin{wrapfigure}{r}{2cm}
\vspace{-5mm}
  \begin{tabular}[]{c}
    \resizebox{2cm}{!}{ \includegraphics{images/ChargeTrapEffect.png}} \\
    \resizebox{2cm}{!}{ \includegraphics{images/ChargeTrapLocus.png}}
  \end{tabular}
\end{wrapfigure}

Par ailleurs, une colonne du CCD contient un pixel d\'eficient, un 
{\em pi\`ege \`a charge}, qui est r\'eticent \`a d\'elivrer ses \'electrons au moment 
de la lecture. Cela perturbe le signal sur le reste de la colonne.
Les coordonn\'ees de ce pixel sont {\tt [1357,755]}, et l'effet d\'epend de son niveau
d'illumination : plus l'illumination est faible, plus la colonne est perturb\'ee.

Pour invalider cette colonne ainsi que celles pour lesquelles la fonction de r\'eponse 
est trop basse ($\mathcal{R}<0.005$) ou l'absorption tellurique trop forte 
($\mathcal{A}>1\,mag$), un masque accompagne le spectre extrait.
Il vaut 0 lorsque le point de mesure est fiable, et 1 lorsqu'il est d\'econseill\'e 
de l'utiliser.
C'est un compl\'ement utile aux autres spectres de contr\^ole enregistr\'es,
car il les r\'esume succintement pour les utilisateurs peu d\'esireux de remonter
aux sources des incertitudes. 


\subsection{Contr\^ole de consistence photom\'etrique }

D\`es lors que l'on dispose des spectres des objets, il est possible de verifier
leur coh\'erence avec le mod\`ele photom\'etrique : que les spectres des galaxies, 
int\'egr\'es dans les filtres photom\'etriques de M\'egaCam, aboutissent aux m\^emes 
flux que sur les images de r\'ef\'erence, et que celui de la \sn\ s'accorde
avec sa courbe de lumi\`ere.

Il faut pour cela savoir exprimer ces flux dans les m\^emes unit\'es. 
La magnitude dite AB d'un objet, relative \`a un filtre de r\'eponse 
$T(\lambda)$ donn\'e, est calcul\'ee directement \`a partir de son spectre 
exprim\'e en unit\'es SI (en $erg/s/cm^2$), int\'egr\'e dans ce filtre :
%(c.f. Annexe \ref{annex:mags}) :
\[ M_T = -2.5\,\log_{10}\left( \frac{\int f(\lambda)\,T(\lambda)\,d\lambda}
   {\int f_0/\lambda^2\,T(\lambda)\,d\lambda} \right) 
   = -2.5\,\log_{10}(F_T)+Z\!P_T \]
o\`u $f_0/\lambda^2$ est le flux d'un objet {\em hypoth\'etique} dont le spectre
serait uniforme par intervalle de {\em fr\'equence} $d\nu$
(et non de longueur d'onde $d\lambda$).
$f_0$ est une constante choisie pour que V\'ega ait une magnitude nulle dans le 
filtre V du syst\`eme photom\'etrique de Johnson.
$F_T$ est le flux int\'egr\'e dans le filtre $T(\lambda)$, et $Z\!P_T$ est le
{\em point z\'ero} associ\'e au filtre $T(\lambda)$.

Ce calcul peut \^etre fait dans touts les filtres couverts par les spectres extraits,
puis \^etre compar\'e aux magnitudes $\hat{M}_T$ d\'eduites des images de r\'ef\'erence
dans chaque filtre, moyennant la valeur du point z\'ero de M\'egaCam pour ce filtre :
\[ \hat{M}_T = -2.5\, \log_{10}( \hat{F}_T ) + Z\!P_T \]
o\`u $\hat{F}_T$ est le flux des images de r\'ef\'erence, int\'egr\'e spatialement dans
le profil d'extraction utilis\'e pour l'objet consid\'er\'e.
Le point z\'ero est r\'ef\'erenc\'e dans les en-t\^etes des images de r\'ef\'erence.

La qualit\'e de l'extraction peut \^etre adr\'ess\'ee en absolu : retrouve-t-on tout
le flux de l'objet, comme en relatif : retrouve-t-on les m\^emes couleurs?
On d\'efinit ainsi $\Delta M$ comme la diff\'erence des magnitudes $M_{r'}$ et
$\hat{M}_{r'}$ relatives au filtre central (soit $r'$ pour les observation prises avec 
le grisme 300V ; $i'$ en 300I), et $\sigma M$ comme l'\'ecart-type des diff\'erences
de magnitudes dans les autres filtres, relativement \`a $\Delta M$ :
\[ \mbox{En 300V,} \quad\quad \Delta M = M_{r'} - \hat{M}_{r'} \]
\[ \mbox{et} \quad\quad \sigma M^2 = 
   \sum_{T \in \{g',i'\}}( (M_{T} - \hat{M}_{T})-\Delta M )^2/2 \]

Pour la \sn, le flux au moment de l'observation spectroscopique ne peut \^etre 
estim\'e qu'\`a partir les courbes de lumi\`ere, de la m\^eme mani\`ere que lors de 
la proc\'edure d'ad\'equation spectro-photom\'etrique (section \ref{subsec:priors}),
et avec les m\^emes r\'eserves (la pr\'ecision est sujette \`a la densit\'e 
d'observation photom\'etrique autour de la date d'observation spectroscopique).
De m\^eme, ce flux est convertit en magnitude AB par l'interm\'ediaire d'un point 
z\'ero de calibration.

Lorsque la \sn\ et sa galaxie h\^ote sont extraites conjointement, leurs flux 
r\'espectifs sont additionn\'es pour estimer la magnitude de la composante SNGAL.

Au vu de la variabilit\'e de la fonction de r\'eponse (c.f. Figure \ref{fig:offresps})
on doit s'attendre \`a une certaine incompatibilit\'e des flux en valeur absolue.
En revanche, la spectroscopie ayant pour but de mesurer la distribution spectrale
de puissance, il est souhaitable que l'extraction respecte les couleurs des objets.
Ces couleurs sont en effet d\'eterminantes pour la classification des \sne\ ainsi
que pour celle des galaxies.

\paragraph{}
Illustrons cette v\'erification sur le candidat embl\'ematique du SNLS : 03D4ag.
Cette \sn\ fut d\'ecouverte lors de la phase de pr\'eparation, au sein d'une
galaxie spirale ayant un \z\ de 0.285.
La proc\'edure d'extraction guid\'ee fonctionne joliment sur ce cas bien r\'esolu,
pris une semaine avant le maximum de lumi\`ere, comme le montre la {\em salle de
contr\^ole virtuelle} reproduite en Figure \ref{figs:03D4agCheck}.

\begin{figure}[b!]
\begin{center}
\begin{tabular}[b]{cc}

  \multicolumn{2}{c}{
  %\hspace{9mm}
    \fbox{\includegraphics[width=8cm]{images/slit/03D4ag_WideNeg_slit_rgb.png}}
  }\\
  \vspace{1mm}
  \includegraphics[width=7.5cm]{graphs/03D4ag_Check/03D4ag_REFextr.png} &
  \includegraphics[width=7.5cm]{graphs/03D4ag_Check/03D4ag_PSFspec.png} \\

  \multicolumn{2}{c}{ Spectrogramme combin\'e } \\
  \multicolumn{2}{c}{
    \includegraphics[width=15cm, height=1.8cm]{graphs/03D4ag_Check/03D4ag_180_2Dspec.jpg}
  } \\

  \includegraphics[width=7.5cm]{graphs/03D4ag_Check/03D4ag_lc.png} &
  \includegraphics[width=7.5cm]{graphs/03D4ag_Check/03D4ag_180_SrcMags.png} \\

  \multicolumn{2}{c}{ Spectrogramme r\'esiduel } \\
  \multicolumn{2}{c}{
    \includegraphics[width=15cm, height=1.8cm]{graphs/03D4ag_Check/03D4ag_180_2Dresidu.jpg}
  }
\end{tabular}
\caption{ 
 Graphiques et spectrogrammes r\'esumant la proc\'edure d'extraction d\'edi\'ee
 appliqu\'ee \`a la mascotte 03D4ag. Ces produits de contr\^ole sont cr\'ees et
 rassembl\'es automatiquement dans des pages en ligne pour chaque observation.
 \label{figs:03D4agCheck}
}
\end{center}
\end{figure}

On constate que les flux extraits sont plus \'elev\'es que les flux attendus, de
0.2 magnitude en moyenne (soit d'environ 20\%).
Cet \'ecart peut \^etre interpr\'et\'e comme la cons\'equence d'une fonction de 
r\'eponse sous-estim\'ee, ou d'une impr\'ecision des points z\'eros.
Concernant le flux de la \sn, il appara\^it ici que le manque de points de mesures
photom\'etriques \`a proximit\'e de la date de spectroscopie (mise \`a part pour
la bande $i'$) est la principale source d'impr\'ecision.
En effet, l'accroissement rapide de la luminosit\'e de la \sn\ avant le maximum
n'est pas bien reproduit par l'interpolation lin\'eaire (en $r'$ en particulier). 
Les valeurs de $\Delta M$ et de $\sigma M$ en sont affect\'ees.
L'utilisation du mod\`ele SALT2 pour pr\'edire le flux \`a une date donn\'ee
est souhaitable, \`a condition d'avoir acquis la certitude que le candidat est
une \sn\ de type Ia.

Le spectrogramme des r\'esidus montre que la PSF est plus piqu\'ee qu'une gaussienne
(\`a la position de la \sn), une courbure de la trace vers le bas dans le bleu
ainsi qu'une imperfection du mod\`ele des bras dans le bleu (o\`u ils sont plus
\'eloign\'es du c{\oe}ur). 

N\'eanmoins, les spectres du c{\oe}ur et de la \sn\ ne montrent quasiment aucune 
contamination par les raies d'emission des bras spiraux, validant le bon
comportement de l'algorithme d'extraction des sources dans ce cas d'\'ecole
(galaxie r\'esolue vue de face).









