
La cha\^ine de r\'eduction et l'algorithme d'extraction sont tout \`a fait
satisfaisant pour r\'epondre aux demandes de l'analyse en temps r\'eel : 
mesure du \z\ de la galaxie h\^ote et classification consensuelle du type
de la \sn, validant ou non son utilisation comme chandelle standardisable.

N\'eanmoins, on peut en regretter la faible tra\c{c}abilit\'e et la subjectivit\'e
du choix des nombreux param\`etres d'extraction et d'ajustement.
L'aspect syst\'ematique des incertitudes de mesures se doit aussi d'\^etre
interrog\'e.

En effet, pour une utilisation plus pointue de ces spectres, adressant la
physique des \sne, il est pr\'eferable de conna\^itre les sources d'erreurs,
et de les avoir quantifi\'ees correctement.

L'estimation de ces erreurs peut se faire soit {\it via} les premiers principes,
soit par simulation, soit en comparant plusieurs approches ind\'ependantes.
La derni\`ere option, si elle suppose un investissement plus grand, 
a la capacit\'e de mettre en lumi\`ere les \'eventuels effets syst\'ematiques 
propres \`a chaque m\'ethode. Si l'on parvient \`a rendre compatibles les 
diverses approches, on atteint une v\'erit\'e, nonobstant les possibles erreurs
communes non identifi\'ees, ou mal comprises.

Convaincu que la compr\'ehension et la ma\^itrise passent par l'exp\'erimentation, 
j'ai d\'ecid\'e, ignorant l'ampleur de la t\^ache, de refaire \`a ma mani\`ere
et avec l'aide de Chris, l'extraction des spectres. 
Il s'av\'era que ce choix m'amena \`a cr\'eer une cha\^ine de r\'eduction
{\it ab initio}, au nom de l'ind\'ependance non seulement de l'extraction,
mais aussi de la calibration.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CRITIQUE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Les points faibles de la cha\^ine de r\'eduction {\tt MIDAS}}
\label{sec:pointsfaibles}

Comme l'autre logiciel populaire de r\'eduction d'images astronomiques 
{\tt IRAF}, {\tt MIDAS} est un outil puissant et mod\'er\'ement ergonomique, 
disposant de nombreux outils bien rod\'es. 
Les d\'etails d'impl\'ementation de ces routines sont cependant peu 
document\'es, et l'utilisateur est limit\'e aux fonctions disponibles.
Celles-ci couvrent l'ensemble des besoins habituels pour la r\'eduction
de donn\'ees astronomiques, et peuvent s'appliquer \`a tout type d'observation
: objets ponctuels, \'etendus, lumineux ou faibles.

Ce sont donc des {\em bo\^ites noires g\'en\'eralistes}, tr\`es utiles pour
r\'eduire rapidement et efficacement une observation, sans devoir refaire
la cascade de calibration.

Si l'on souhaite appr\'ehender diff\'eremment les donn\'ees, il 
est possible d'utiliser les facilit\'es de programmation de ces environnements,
en s'accommodant des contraintes internes (format des donn\'ees, fonctions
disponibles), pour modifier les \'etapes d\'elicates.

L'alternative qui offre une libert\'e quasi-totale est d'utiliser un language
de programmation {\em universel} (ou {\em elementaire}, tels 
{\tt FORTRAN, C, C++}).
On s'affranchit ainsi de la tutelle des {\em proc\'edures standard}, 
libre d'impl\'ementer toute id\'ee alternative qui puisse s'appliquer
\`a nos donn\'ees. Bien utilis\'es, ils r\'eduisent par ailleurs le temps
d'ex\'ecution des calculs.
Il est \'evidemment plus long de r\'ealiser ces impl\'ementations que 
d'utiliser celles existantes, mais cela est vu comme un investissement et 
comme le prix de la libert\'e d'analyse.
 

\subsection{Gestion des rayons cosmiques}

Ennui omnipr\'esent et impr\'evisible, les rayons cosmiques sont une source 
de confusion possible avec les raies d'\'emission galactiques.
Si le filtrage spatial en \'elimine la majeur partie, le pourtour des impacts
o\`u ont diffus\'e quelques \elec\ n'est pas assez d\'eviant pour \^etre 
rejet\'e. 
D'autre part, il est inconfortable de remplacer la zone d'impact par une
approximation polynomiale, incontestablement lisse, mais n'ayant aucune
validit\'e : on ne peut rien savoir de ce qui se trouve sous l'impact apr\`es
l'avoir identifi\'e. Le filtre suppose que l'on n'y trouve rien de sp\'ecial, 
et y applique la valeur interpol\'ee des pixels voisins.

La position des impacts n'est pas conserv\'ee, ce qui interdit de leur affecter 
par la suite un poids nul, tel qu'ils le m\'eritent.

Disposer de plusieurs r\'ealisations des observations permet par contre
d'appliquer un filtrage temporel aux donn\'ees : les sources astrophysiques
sont identiques sur toutes les images, alors qu'il est improbable qu'un impact
de rayon cosmique se trouve au m\^eme endroit sur deux acquisitions 
successives.

L'impl\'ementation d'un tel filtre fut la premi\`ere \'etape de mon \'etude
( voir section \ref{sec:recettes}).

\subsection{Un r\'e\'echantillonnage pratique mais vicieux}

La principale contamination syst\'ematique, plus pr\'evisible, correspond
au bruit de soustraction du ciel.
La brillance nocturne de l'air provient de la recombinaison \'electronique 
des atomes ionis\'es et de la d\'esexcitation spontan\'ee des mol\'ecules 
agit\'ees par la lumi\`ere solaire durant le jour, et par les particules du 
vent solaire et autres vagabonds \'energ\'etiques dont nous prot\`ege 
l'atmosph\`ere terrestre.
Le spectre d'\'emission de l'air nocturne varie \`a mesure que les niveaux
d'exitation se peuplent ou se d\'epeuplent. L'intensit\'e des raies d'\'emission
obtenue sur le d\'etecteur n'est donc pas strictement identique sur les 
acquisitions successives.
La soustraction de ce contaminant doit alors se faire sur chaque acquisition
ind\'ependamment.

Le bruit r\'esiduel de cette soustraction contient une composante statistique
intrins\`eque (bruit de grenaille), et une composante d'erreur de mod\'elisation
du spectre de l'air et de mod\'elisation de la fonction de dispersion.

En effet, le spectre r\'eel est convolu\'e avec la transpos\'ee spectrale de 
l'image de la fente, puis int\'egr\'e par chaque pixel dans l'intervalle 
de $\lambda$ qu'il couvre 
($\sim 2.65\,\angstr/pix$, la fente de 1'' se transpose en $13.25\,\angstr$ 
et la raie interdite de [OI] ionosph\`erique est large de moins de $1\,\angstr$), 
pour former le spectrogramme mesur\'e.

Si l'on ne corrige pas la dispersion, il est difficile 
d'estimer le spectre de l'air, car il ne suit pas l'alignement des pixels.\\
Si l'on corrige la dispersion, le spectre \`a chaque $Y_{pix}$
sera r\'e\'echantillonn\'e selon une m\^eme grille r\'eguli\`ere en $\lambda$. 
Le spectrogramme obtenu sera bien align\'e avec ses pixels, mais le spectre
de l'air n'appara\^itra pas de mani\`ere strictement identique \`a 
diff\'erents $Y_{pix}$.

Le r\'e\'echantillonnage cr\'ee une corr\'elation entre pixels adjacents 
spectralement, qui d\'epend de la position relative de l'\'echantillonnage
original du CCD et de celui impos\'e (voir Fig \ref{img:rebin}).

On perd donc en partie l'ind\'ependance des pixels de l'image brute, qui
permet de les consid\'erer statistiquement sur un pied d'\'egalit\'e.
Il faut tenir compte du coefficient de corr\'elation introduit pour
calculer la covariance des pixels adjacents si l'on veut mod\'eliser
parfaitement les erreurs de mesure. 
Au lieu d'une image du bruit d\'ecorr\'el\'e, on a besoin de construire les 
matrices de covariances de chaque pixel, ce qui est beaucoup plus lourd et ardu.


\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{
\hspace{-5mm}
\subfigure[Image brute {\tt FORS1\_LSS106.fits}]
{\includegraphics[width=7cm]{images/raw_heat.png}}\quad
\subfigure[Image r\'eduite {\tt FORS1\_LSS106\_0002.fits}]
{\includegraphics[width=7cm]{images/red_heat.png}}
}
\caption{
{\it Gros plan sur une r\'egion du CCD sans raie d'emission du ciel,
avant et apr\`es traitement (filtrage, piedestal, champ plan et dispersion).
On peut identifier la trace de deux objets, la \sn\ en haut et la galaxie 
en bas, remarquable par la fine raie d'emission ($OII$).
La zone noire de l'image brute est une impuret\'e, dont la transparence est 
sous estim\'ee par le champ plan, \`a moins que le pi\'edestal ne soit 
sous-estim\'e.
Deux impacts de cosmiques sont visibles au dessus de la \sn\ et sur la galaxie.
Les corr\'elations introduites par la correction de la dispersion rendent
certaines r\'egions ``floues'' sur l'image r\'eduite.}
\label{img:rebin}
}
\end{center}
\end{figure}

J'ai donc choisi de r\'e\'echantillonner le plus tard et le moins possible
dans mon impl\'ementation. La fonction de dispersion fournit l'\'echelle
spectrale irr\'eguli\`ere associ\'ee \`a l'\'echelle r\'eguli\`ere des pixels
que l'on conservera.


\subsection{L'extraction au jug\'e}

L'{\oe}il coupl\'e au cerveau humain est un instrument tr\`es efficace pour 
d\'eceler un signal perdu dans du bruit, ainsi que toute anomalie.
Trois op\'erateurs garantissent que l'on trouve le meilleur r\'esultat possible, 
compte tenu des outils utilis\'es.

Cependant, lorsque le signal est du m\^eme ordre que le bruit (cas d'une \sn\
faible et/ou d'une mauvaise qualit\'e d'image), la d\'etection visuelle de la 
trace est hasardeuse.
En effet, les param\`etres d'extraction sont estim\'es \`a partir des images
r\'eduites, mais non soustraites du fond de ciel.
Le signal n'appara\^it donc pas sur un fond uniforme, mais sur le spectre
structur\'e (par les raies d'\'emission) du ciel.

Disposer d'images interm\'ediaires auxquelles serait soustraite une premi\`ere
estimation grossi\`ere du spectre du ciel aiderait l'op\'erateur \`a d\'eceler
la trace sur l'ensemble de l'intervalle spectral, plut\^ot que de mani\`ere
intermittente entre les raies du ciel.

Par ailleurs, les coordonn\'ees de pointage et l'angle polaire 
d'observation (r\'ef\'erenc\'es dans les en-t\^etes) permettent de calculer les 
d\'ecalages attendus entre les images.
Si la pr\'ecision de ces coordonn\'ees n'est pas excellente en absolu 
($\sim 0.5''$),
on peut s'attendre \`a ce que la pr\'ecision relative pour les petits d\'ecalages
entre images soit bonne ($< 0.1'' \equiv 0.5\,pixel$ , pour des d\'ecalages de 
$15\,pixels = 3''$).

Au lieu de soustraire le fond de ciel et d'extraire le signal pour chacune des 
images r\'eduites, ma proc\'edure consistera \`a r\'eduire toutes les images
et \`a en soustraire le fond de ciel, puis \`a les combiner pour effectuer le filtrage
temporel des rayons cosmiques.
Ces operations sont faites sans sauvegarde interm\'ediaire (source d'erreurs
num\'eriques), et fournissent un unique spectrogramme de fond uniform\'ement
nul, de pixels ind\'ependants, dont sera ensuite extrait le signal.
Ce spectrogramme calibr\'e r\'esume l'information contenue dans toutes les images, 
et permet un diagnostic visuel confortable.

L'op\'erateur n'a plus \`a d\'efinir les zones d'estimation du ciel, qui sont
calcul\'ees automatiquement {\em via} quelques param\`etres internes plus un
param\`etre ajustable (la hauteur des zones, valant 200 pixels par defaut).
On verra dans le chapitre suivant comment automatiser aussi les param\`etres
d'extraction. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% UBER-MASTER-CALIB %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{L'atout d'une campagne homog\`ene}
\label{sec:atouts}

La politique de calibration en temps-r\'eel est d'utiliser les images de
calibration les plus contemporaines des observations. On minimise ainsi
les fluctuations possibles du niveau de piedestal, des poussi\`eres,
de la fonction de dispersion ou de la r\'eponse instrumentale.

Les r\'ef\'erences de calibration sont donc propres \`a chaque jeu d'images de
calibration dispens\'e par l'ESO, et sont cr\'e\'ees \`a partir de 5 images
dans le cas du pi\'edestal et du champ plan. 

On aimerait cependant que la calibration apporte un bruit n\'egligeable aux
images de sciences, c'est \`a dire que le niveau de bruit r\'esiduel des 
mod\`eles de r\'ef\'erence soit petit devant le bruit de lecture et de 
fond de ciel des images de science.

Le pr\'ecieux temps VLT investi dans ce programme {\em industriel},
et l'homog\'en\'eit\'e de ces donn\'ees m\'eritent bien que l'on
y regarde \`a deux fois, et avec des outils sp\'ecialement con\c{c}us
pour eux.
Au lieu de fabriquer les mod\`eles de calibration au vol, disons en aveugle,
l'approche pr\'esent\'ee ici est d'utiliser l'ensemble des donn\'ees pour
forger des mod\`eles de calibration \`a priori de l'instrument.


\subsection{Le flot de donn\'ees de calibrations}

Apr\`es un an d'accumulation d'images de calibrations, on disposait de quelques
centaines d'images de calibration brutes.
La statistique Poissonnienne, qui s'applique aux variables al\'eatoires 
$\mathbf{X}$ discr\`etes incoh\'erentes \`a taux constant $\mu$ 
(tel le nombre $X_i$ de gouttes de pluie par $m^2$ par seconde $i$), 
statue que la variance\footnote{ 
Variance ou second moment centr\'e : $V(\mathbf{X}) = \sigma^2 = 
\frac{ \sum_{i=1}^{N}(X_i - \overline{ \mathbf{X} })^2}{N} $ 
, avec $ \overline{ \mathbf{X} }=\frac{ \sum_{i=1}^{N} X_i}{N} 
_{\overrightarrow{ N\! \rightarrow\! \infty} }\ \mu$
la moyenne de ${\mathbf X}$, et $\sigma$ son \'ecart-type.
}
de $\mathbf{X}$ est \'egale \`a son esp\'erance math\'ematique $\mu$.

L'\'ecart-type, racine de la variance, vaut donc $\sigma = \sqrt{\mu}$, 
et le rapport signal \`a bruit $\frac{\mu}{\sigma} = \sqrt{\mu}$ 
(s'il tombe 25 gouttes$/m^2/s$, on en comptera entre 20 et 30 sur 1 $m^2$ durant
une seconde $\sim73\,\%$ des fois. Et plus de 40 seulement $\sim0.2\,\%$ des fois).
Pour doubler le rapport signal \`a bruit, il faut donc quadrupler le taux moyen 
d'\'ev\'enements (compter les gouttes toutes les 4 secondes, 
ou compter 4 fois durant une seconde).

Ainsi, la moyenne de 5 images de pi\'edestal aura un bruit de lecture
r\'esiduel $\sqrt{5}=2.23$ fois moindre que le bruit de lecture original.

\`A soustraire ce mod\`ele moyen, on introduit son bruit r\'esiduel
dans les images de science. Si l'on moyenne un plus grand nombre d'images
de calibations, on peut r\'eduire davantage cette contamination externe :
la moyenne de 25 images aura un bruit r\'esiduel 5 fois moindre, et celle de 100
images un bruit 10 fois moindre que le bruit de lecture original.

Si l'on se convainc que le pi\'edestal est uniforme, soustraire un mod\`ele
constant n'apportera aucun bruit statistique. 
Mais les \'eventuels \'ecarts \`a l'uniformit\'e ne seront pas corrig\'es, 
apportant une source d'erreur syst\'ematique.

Concernant le champ plan normalis\'e, le bruit de grenaille r\'esiduel est en sus 
normalis\'e par la moyenne $F$ du flux : $ \sigma = \frac{1}{\sqrt{N \times F}} $
o\`u $N$ est le nombre d'images moyenn\'ees.

Le mod\`ele sera donc d'autant meilleur que l'illumination y est forte et que le 
nombre d'images moyenn\'ees est grand.

Il faut cependant mettre un b\'emol \`a ce discours : ceci ne s'applique que dans
le cas o\`u les images moyenn\'ees sont des r\'ealisations obtenues dans des 
conditions identiques (qu'il pleuve identiquement \`a chaque comptage). 
Si le niveau du pi\'edestal fluctue, ou que des poussi\`eres se d\'eposent, 
la variance sera affect\'ee par ces incertitudes de mod\'elisation.
Il faut, dans ce cas, pouvoir estimer et corriger ces fluctuations avant de 
moyenner les images. 
R\'eciproquement, il faudra estimer les corrections \`a appliquer au mod\`ele
pour qu'il s'accorde aux images qu'il servira \`a calibrer.

\subsection{La possibilit\'e de cr\'eer une cha\^ine de r\'eduction d\'edi\'ee}

On comprend que la meilleure calibration \`a notre port\'ee est conditionn\'ee
\`a la stabilit\'e de l'instrument et \`a la quantit\'e d'images de calibration
disponibles.

Dans le cas de FORS1, un instrument herm\'etique con\c{c}u pour durer sans coup 
f\'erir, on peut supputer, et l'on v\'erifiera, que la calibration est tr\`es 
stable au cours des mois, voire des ann\'ees.

Il est donc justifi\'e d'utiliser l'ensemble des images de calibration 
pour calculer un mod\`ele syst\'ematique valable pour un mois, voire pour une 
ann\'ee, et d'\'etudier par la m\^eme occasion la stabilit\'e de l'instrument.

La mise en place d'un tel atelier, qui perturba longtemps mon sommeil, passe par
l'impl\'ementation des algorithmes de mod\'elisation des r\'ef\'erences de 
calibrations, mais aussi de groupement des images brutes par type pour alimenter
ces routines de mod\'elisation.

Le choix du language informatique utilis\'e n'est pas anodin, car il d\'etermine
la simplicit\'e d'impl\'ementation des probl\`emes rencontr\'es.
Les images brutes \'etant au format {\tt FITS}, r\'egi par la librairie 
{\tt CFITSIO} (\'ecrite en language {\tt C}), la lecture et l'\'ecriture des images
seront faciles si l'on utilise cette librairie, donc que l'on programme en language 
{\tt C} ou avec son successeur orient\'e {\em objet} {\tt C++}.

D\'ej\`a familier du language {\tt C++}, et converti \`a sa modularit\'e, j'ai
choisi de l'utiliser pour les routines de mod\'elisation, qui effectuent des
op\'erations simples sur un grand nombre de pixels. Elles se doivent donc d'\^etre
raisonnablement rapides.

En revanche, le groupement des donn\'ees est une \'etape complexe, mais qui 
s'applique \`a un nombre raisonnable de fichiers.
Plus que la rapidit\'e d'ex\'ecution, c'est la concision et la lisibilit\'e du 
programme qui seront recherch\'es.
La cr\'eation d'une base de donn\'ees listant les images brutes disponibles et leur
type rend ais\'e leur groupement.

SNLS dispose d'une base de donn\'ees des images de M\'egacam pour les r\'eduire, 
impl\'ement\'ee en {\tt MySQL/Python}. {\tt MySQL} est un environnement g\'erant 
les bases de donn\'ees, et {\tt Python} est un language interpr\'et\'e\footnote{
{\tt C++} est un language {\em compil\'e} : un programme est traduit en assembleur
dans un fichier directement {\em executable} par le processeur.
{\tt Python} est un language {\em interpr\'et\'e} : un programme est execut\'e 
tel quel ligne par ligne par l'{\em interpr\'eteur Python}, qui doit \^etre 
install\'e sur le poste de calcul.}
fond\'e sur des classes d'objets, ayant une bonne gestion des erreurs et de 
l'import de modules ext\'erieurs. La syntaxe est simplifi\'ee par rapport au 
{\tt C++}, et la quantit\'e de modules disponibles est \'enorme, grandissante 
et bien document\'ee.
{\tt Python} apparut donc comme un outil de choix pour l'enrobage logistique 
de la nouvelle cha\^ine de r\'eduction.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ERREURS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Propagation des erreurs}
\label{sec:erreurs}


Apr\`es l'\^age d'or de la m\'ecanique et de la thermodynamique, o\`u la
connaissance et la pr\'ediction semblaient ne pas avoir de bornes dans un
univers ob\'eissant \`a des lois physiques d\'eterministes, vint la d\'esillusion
de la th\'eorie quantique, probabilisant une nature incertaine.
Auparavant, la notion de probabilit\'e a \'et\'e formalis\'ee par de nombreux 
math\'ematiciens (tels Gauss, Poisson, Cauchy, Bernoulli) et son application
aux sciences est devenue incontournable.

Les scientifiques s'appliquent \`a d\'evoiler la v\'erit\'e par l'exp\'erience. 
Le raisonnement logique et l'outil math\'ematique leur permettent de faire des
pr\'edictions v\'erifiables ou d'interpr\'eter des observations, dans le cadre
d'une th\'eorie dont on questionne la v\'eracit\'e.
Il n'est pas \'etonnant que la repr\'esentation du monde ait tellement chang\'ee 
au cours des \^ages, \`a mesure que les outils math\'ematiques et les instruments
d'observations se perfectionnent. Il est cependant remarquable que ces avanc\'ees
soient li\'ees : l'\'emergence de nouveaux concepts physiques ouvre la voie 
\`a l'exploration de nouvelles branches des math\'ematiques et \`a des innovations
technologiques, qui permettront de nouvelles exp\'eriences et la d\'ecouverte de 
nouveaux concepts.

Comme on vient de le voir, l'interpr\'etation des observations est limit\'ee 
par le bruit de mesure, que l'on peut r\'eduire par l'accumulation de r\'ealisations 
identiques, et par la compr\'ehension de la nature des erreurs statistiques et
syst\'ematiques.
Plus subtilement, l'action de la mesure a g\'en\'eralement un effet, m\^eme
minime, sur l'objet d'\'etude. Ses propri\'et\'es sont modifi\'ees par l'acte
de mesurer, et la mesure n'est pas absolue. On conna\^it l'\'etat de l'objet
sachant qu'il est mesur\'e.

En bref, un diagnostic doit \^etre accompagn\'e de sa probabilit\'e d'\^etre
vrai, de son incertitude, qui se calcule en propageant les erreurs connues \`a 
chaque \'etape de l'analyse des mesures.
Le caract\`ere al\'eatoire, stochastique, d'un signal se formalise par une 
{\em densit\'e de probabilit\'e}, qui d\'ecrit la probabilit\'e que le signal 
prenne une valeur plut\^ot qu'une autre.
C'est cette fonction que l'on essaye d'estimer d'apr\`es les donn\'ees.
Sa forme d\'epend du type de statistique r\'egissant le signal, mais on 
l'approxime souvent par une fonction {\em normale}\footnote{
``courbe en cloche'', ou Gaussienne, de densit\'e de probabilit\'e
$P(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$,
pour une variable de moyenne $\mu$ et d'\'ecart-type $\sigma$.
}
dont la manipulation math\'ematique est ais\'ee.
Le ``th\'eor\`eme central limite'' stipule par ailleurs que la somme de variables
al\'eatoires ind\'ependantes, sous des conditions de r\'egularit\'e, tend
vers une loi normale lorsque le nombre de variables tend vers l'infini 
(Loi des grands nombres).


%\vspace{-0.3cm}
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.5cm}
\subfigure
{\includegraphics[width=10cm]{figures/Estimate.png}}
%\hspace{-0.5cm}
\subfigure
{\includegraphics[width=4.5cm]{figures/Poiss_vs_Normal.png}}
}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it {\bf \`A gauche :} Illustration de l'estimation d'un taux \`a partir 
de quatre mesures. 
Les fonctions de r\'epartition estim\'ees dans le cas o\`u 
la loi est suppos\'ee {\em Normale} (continue), ou {\em Poissonnienne} 
(discr\`ete), sont trac\'ees.
{\bf \`A droite :} Fonction de r\'epartition poissonni\`enne et son
approximation gaussienne, \`a taux faible ($\mu=4$) et \'elev\'e ($\mu=64$).}
}
\label{fig:estim}
\end{center}
\end{figure}
%\end{wrapfigure}

La loi normale poss\`ede deux param\`etres : sa moyenne $\mu$ et son \'ecart-type 
$\sigma$. La vraisemblance de d\'etection d'un signal sera exprim\'ee en nombre
de $\sigma$ au dessus du fond, \'egal au rapport signal \`a bruit $\mu/\sigma$.\\
Ainsi, si l'on mesure $X_i= [18,28,21,29]$ gouttes de pluie par seconde, 
on annoncera qu'il pleut en moyenne
$\mu=\sum_{i=1}^4 X_i / 4=24$ gouttes/sec, avec un \'ecart-type de 
$\sigma=\sum_{i=1}^4 (X_i-\mu)^2 /4=4.6$.
Ces estim\'ees sont entach\'ees d'erreur car on ne dispose pas d'une infinit\'e 
de mesures. L'erreur d'estimation de $\mu$ peut \^etre elle-m\^eme estim\'ee en
supposant une loi normale, pour laquelle les incertitudes s'ajoutent 
quadratiquement : 
$\sigma_{\mu}=\frac{\sqrt{ \sum_{i=1}^N \sigma^2} }{N} = \sigma/\sqrt{N}=2.3$.
On concluera que les mesures sont en accord avec une r\'epartition
de moyenne $24.0\pm2.3$ et d'\'ecart-type $4.6$, dans l'hypoth\`ese d'une loi
normale.

Le nombre de gouttes est en fait une variable al\'eatoire discr\`ete 
($X_i$ ne prend que des valeurs enti\`eres), qui suit une fonction de 
r\'epartition Poissonnienne\footnote{ 
Loi de R\'epartition Poissonienne de taux $\mu$ := 
$P(X_i=k) = \frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$.},
dont l'unique param\`etre est le taux moyen $\mu$.
Comme on le voit en Figure \ref{fig:estim}, pour un taux de 24, les deux lois
sont proches, et quatre mesures sont loin de suffire \`a les diff\'erencier.
La loi de Poisson s'approxime bien, pour un taux $\mu$ suffisamment grand, par 
une loi normale de m\^eme moyenne $\mu$, et de m\^eme \'ecart-type $\sqrt{\mu}$.

Ce rappel sur l'estimation des processus stochastiques termin\'e, voyons comment se
transcrivent ces notions dans le cas de la spectroscopie avec des capteurs CCD,
et comment se formalise la propagation des bruits au cours de la calibration.

\subsection{Un mot sur les d\'etecteurs CCD }

Dans notre cas, on ne compte pas des gouttes de pluie, mais des grains de 
lumi\`ere : les photons.
La seule \'epuisette \`a photons que l'on connaisse est l'effet 
photo\'electrique, qui lib\`ere des \'electrons que l'on sait mieux manier.
Cet effet, d\'ecouvert par H.R. Hertz en 1887, interpr\'et\'e par A. Einstein en 1905
en s'inspirant des travaux sur les quantas de M. Plank, est un exemple d'avanc\'ee
des concepts scientifiques par l'exp\'erience et le raisonnement.
Un si\`ecle apr\`es, les applications industrielles ne se comptent plus, des panneaux
solaires aux capteurs num\'eriques.
Surtout, la dualit\'e et la quantification de l'\'energie des particules devint
indiscutable, intronisant la th\'eorie quantique comme ``mod\`ele standard'' de 
la physique des particules.

Bri\`evement, les solides se distinguent \'electriquement en 3 cat\'egories :
les isolants, dont les \'electrons de valence sont li\'es \`a leur atomes,
les conducteurs (ou m\'etaux) dont les \'electrons de valence circulent 
d'un atome \`a l'autre,
et les cristaux semi-conducteurs, dont les \'electrons peuvent circuler 
si l'on chauffe au-del\`a d'une certaine temp\'erature.\\
Cette hausse d'\'energie peut provenir localement d'un photon de fr\'equence $\nu$,
qui ait une \'energie $h\nu$ suffisante pour entra\^iner l'\'electron sur 
une orbite conductrice, sans toutefois le d\'etacher d\'efinitivement 
de la maille du cristal. L'\'electron part alors vers l\`a o\`u il y a plus de 
trous et moins d'\'electrons, et laisse un trou.
Les trous se d\'eplacent aussi, mais plus lentement.

Les {\em Dispositifs \`a Charges Coupl\'ees} (CCD) exploitent les propri\'et\'es 
des semi-conducteurs pour obtenir une bonne efficacit\'e quantique $q$ 
(nombre d'\'electrons lib\'er\'es par photons, $0.6 < q < 0.8\,e^-/h\nu$ entre
4000 et $8000\,\angstr$ pour la CCD Tektronix de FORS1).

Cette efficacit\'e quantique d\'epend de la longueur d'onde $\lambda=c/\nu$ 
des photons, et peut varier d'un pixel \`a un autre en raison des imperfections de
manufacture.
Ces variations sont refl\'et\'ees dans le champ plan (variation pixel \`a pixel)
et dans la courbe de r\'eponse instrumentale (d\'ependance en $\lambda$).

Le circuit de lecture apporte par ailleurs un niveau de base (le pi\'edestal),
un bruit de lecture (le {\em read out noise} : $RON \sim 5.4\,e^-$ par pixel),
et un courant d'obscurit\'e qui remplit les pixels avec le temps 
($\sim 9\,e^-/hr/pix$ pour FORS1, n\'egligeable et n\'eglig\'e 
dans les analyses\footnote{On ne dispose de toutes fa\c{c}on pas, en mode service, 
des images de calibration permettant de l'estimer, tr\`es co\^uteuses en temps})

\subsection{Le bruit de photons}

Le flux de photons $F_0(\lambda)$ arrivant en amont de l'atmosph\`ere terrestre 
ob\'eit \`a une loi de Poisson : son bruit statistique s'apparente \`a un
bruit de grenaille. 
La transmission atmosph\'erique $A(\lambda)$, la r\'eflectivit\'e des miroirs 
et la transmission des optiques $T(\lambda)$ ainsi que l'efficacit\'e quantique du 
d\'etecteur $q(\lambda)$ {\em tamisent} ce flux. 
Ce tamisage conserve la nature Poissonnienne du
flux d'\'ev\'enements, et le flux $F_{e^-}$ d'\elec\ lib\'er\'es dans le CCD s'\'ecrit
\[ F_{e^-}(\lambda)=F_0(\lambda) A(\lambda)T(\lambda)q(\lambda)\quad [e^-] \]
Son \'ecart type $\sigma_{e^-}$ vaut donc
\[ \sigma_{e^-}(\lambda)=\sqrt{F_{e^-}(\lambda)} = \sigma_0(\lambda) \sqrt{
 A(\lambda) T(\lambda) q(\lambda) }\quad [e^-] \]

$F_0$ est directement mesurable \`a partir des spectrogrammes.
Ceux-ci sont exprim\'es en ADUs, unit\'e propre \`a chaque
d\'etecteur et proportionnelle aux nombre d'\elec\ stock\'es par pixel.
Le coefficient de proportionalit\'e $g$ est appel\'e gain du CCD 
( $g \sim 1.46\,e^-/ADU$ pour FORS1).
Ce changement d'unit\'e, ou normalisation, ne conserve pas la nature Poissonienne 
du signal :
\[ F_{ADU} = \frac{F_{e^-}}{g}\ \Rightarrow\ \sigma_{ADU}\ 
=\frac{\sigma_{e^-}}{g}\ =\frac{\sqrt{F_{e^-}}}{g}\ =\sqrt{\frac{F_{ADU}}{g}}\ 
\neq\ \sqrt{F_{ADU}} \]

Le tamisage est factoris\'e, lors de l'analyse, en champ plan $f(X_{pix}, Y_{pix})$
et r\'eponse instrumentale fois le gain\footnote{
La r\'eponse instrumentale inclut le gain de conversion, et est expim\'ee en 
$ADU/erg/cm^{-2}$\endgraf $\left( \mathcal{R}=\frac{AT}{f} \frac{q\ [e^-/h\nu]}{g\ [e^-/ADU]}
\quad [ADU/h\nu]\ \right)$}
$\mathcal{R}(\lambda)g$ :
\[ F_{ADU}(\Xp_i,\Yp_j)=\frac{ F_0(\lambda) f(\Xp_i, \Yp_j)
\mathcal{R}(\lambda(\Xp_i))g}{g} =\frac{ F_{e^-}(\lambda(\Xp_i))}{g} \quad [ADU] \]
L'\'ecart-type du flux mesur\'e s'\'ecrit donc
\[ \sigma_{ADU}(\Xp_i,\Yp_j)=\sigma_0(\lambda(\Xp_i)) 
\sqrt{ \frac{f(\Xp_i, \Yp_j) \mathcal{R}(\lambda(\Xp_i))}{g}}\quad [ADU] \]

On cherche \`a estimer $F_0$ et $\sigma_0$, en unit\'es de flux lumineux,
\`a partir de la mesure du flux en ADU. 
Les relations pr\'ec\'edentes se r\'e\'ecrivent alors
\[ F_0(\Xp_i,\Yp_j) = \frac{ F_{ADU}(\Xp_i,\Yp_j) }
{ f(\Xp_i, \Yp_j) \mathcal{R}(\lambda(\Xp_i)) }\quad [erg/cm^2] \]
\[ \sigma_0(\Xp_i,\Yp_j) = \sqrt{F_0} =
\sqrt{ \frac{F_{ADU}}{ f(\Xp_i, \Yp_j) \mathcal{R}(\lambda(\Xp_i)) }}
\quad [erg/cm^2] \]

Le calcul du flux $F_0$ passe aussi par la soustraction du pi\'edestal $B_{ADU}$ 
et du spectre du ciel $C_{ADU}=C_{e^-}/g$ (en ADUs).
Dans le cas d'un signal faible, on consid\`ere que le bruit statistique 
provient principalement du bruit de lecture ($RON$ en $e^-$) et du fond de ciel 
(cas d'une observation limit\'ee par le bruit de fond).
Le bruit du ciel est Poissonien ($\sigma_{C_{e^-}}=\sqrt{C_{e^-}}$), 
et dans l'hypoth\`ese de lois normales ind\'ependantes, les bruits s'ajoutent 
quadratiquement.
Ainsi, pour chaque pixel, on peut \'ecrire le signal mesur\'e $S$ et son bruit
propag\'e $\sigma_S$, en supposant que les mod\`eles de pi\'edestal, de champ plan
et du spectre du ciel sont parfaits et n'introduisent pas de bruit syst\'ematique :
\[ S = \frac{F_{ADU}-B_{ADU}-C_{ADU}}{f\mathcal{R}} 
     = \frac{S_{ADU}}{f\mathcal{R}}\quad [erg/cm^2]\]
\[ \sigma_S = \frac{ \sqrt{(RON/g)^2 + C_{ADU}/g }}{f\mathcal{R}} =
 \sqrt{\left( \frac{RON}{f\mathcal{R}g}\right)^2 + 
\frac{C_{ADU}}{(f\mathcal{R})^2 \times g} }\quad [erg/cm^2]\]

Dans le cas g\'en\'eral, on ajoute le bruit de Poisson du signal \`a celui 
du ciel :
\[ \sigma_S = \sqrt{\left( \frac{RON}{f\mathcal{R}g}\right)^2 + 
\frac{C_{ADU}+S_{ADU}}{(f\mathcal{R})^2 \times g} }\quad [erg/cm^2]\]


\subsection{Savoir estimer et estimer savoir}

Les formules pr\'ec\'edentes rappellent que la qualit\'e de l'estimation
du signal et de son bruit d\'ependent de la qualit\'e des mod\`eles servant
\`a ces estimations : pi\'edestal $B$, champ plan $f$, r\'eponse $\mathcal{R}$ et
spectre du ciel $C$, mais aussi du bruit de lecture $RON$ et du gain $g$ pour
l'estimation du bruit.

Il est donc crucial que les estimateurs math\'ematiques utilis\'es soient de
bonne qualit\'e : robustes et non-bais\'es.
En particulier, la pr\'esence d'un impact de rayon cosmique ne doit pas 
affecter le r\'esultat.
La moyenne arithm\'etique est le meilleur estimateur d'une population pure,
et l'on s'efforce donc d'\'epurer nos \'echantillons avant de les moyenner.

Cela consiste d'une part \`a corriger des fluctuations syst\'ematiques que l'on
puisse mesurer, et d'autre part \`a rejeter les \'ev\'enements trop d\'eviants
du groupe.

La correction des fluctuations permet d'obtenir un \'echantillon assez homog\`ene
pour pouvoir lui appliquer l'algorithme de r\'ejection.
Ensuite, pour conna\^itre l'amplitude des \'ecarts acceptables, il faut
disposer d'une bonne estimation du bruit statistique de l'\'echantillon,
qui se r\'esume \`a son \'ecart-type $\sigma$ dans l'hypoth\`ese d'une loi normale.

L'estimateur que j'ai impl\'ement\'e proc\`ede \`a une r\'ejection it\'erative
des \'ev\'enements d\'eviants de plus de $N\sigma$ de la m\'ediane des
\'ev\'enements non-rejet\'es ($N$ \'etant un param\`etre ajustable, 
g\'en\'eralement choisi \`a 5, ce qui rejette $0.6\,ppm$ des \'ev\'enements d'une
population pure dont le $\sigma$ est correctement estim\'e). La moyenne,
 \'eventuellement pond\'er\'ee, des \'ev\'enements valides donne l'estimation
voulue.
Je me r\'ef\`ererais par la suite \`a cet estimateur comme une {\em moyenne robuste}.

Diverses variantes sont utilis\'ees, pour ne rejeter que les \'ev\'enements trop
hauts, ou pour s'adapter aux propri\'et\'es statistiques de l'\'echantillon 
($\sigma$ identique ou propre \`a chaque \'ev\'enement, loi de Poisson avec ou
sans pi\'edestal)

L'estimateur a besoin d'information sur le bruit propre aux donn\'ees d'entr\'ee, 
et se doit d'en d\'eduire la pr\'ecision de son estimation. On propage
ainsi les incertitudes de mesure \`a chaque \'etape de la calibration.

\paragraph{Notion d'ergodisme et de stationnarit\'e :\\ }

Les processus al\'eatoires {\em physiques} s'\'etendent g\'en\'eralement
dans l'espace et durent dans le temps (c'est le cas des gouttes de pluie).
On peut donc calculer leur \'ecart-type spatial ou temporel : la dispersion
en divers lieux dans un laps de temps donn\'e, et la dispersion \`a diverses
\'epoques en un m\^eme endroit respectivement.

Une variable al\'eatoire est dite ergodique si ses propri\'et\'es statistiques 
spatiales et temporelles sont identiques. 
Il est alors \'equivalent d'estimer la moyenne et l'\'ecart-type 
spatialement ou temporellement.

Une variable al\'eatoire est dite stationnaire si sa fonction de r\'epartition
est ind\'ependante du temps. L'estimation peut alors se faire sur n'importe quel
laps de temps, et les r\'esultats seront compatibles entre eux.

Ces deux propri\'et\'es simplifient le travail d'estimation, et sont suppos\'ees
lorsque la physique sous-jacente le justifie. Dans le cas contraire, on tentera
de construire des variables normalis\'ees ayant ces propri\'et\'es.

La v\'erification de l'ergodisme ou de la stationnarit\'e est intrins\`equement 
limit\'ee par le nombre d'\'ev\'enements accessibles : 
si l'on veut conna\^itre pr\'ecis\'ement la moyenne temporelle, il faut recueillir
un grand nombre d'\'ev\'enements, donc attendre suffisamment longtemps. 
La r\'esolution temporelle des mesures sera alors mauvaise. Inversement, plus on
voudra suivre le d\'etail des fluctuations temporelles, plus le nombre
d'\'ev\'enements disponibles par intervalle de mesure sera petit, affectant
la pr\'ecision de la mesure.
C'est une d\'eg\'en\'erescence classique entre pr\'ecision et r\'esolution.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% RECETTES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Recettes de cuisine}
\label{sec:recettes}

Id\'ealement, pour contr\^oler au mieux les fluctuations instrumentales
et atmosph\'eriques, il faudrait acqu\'erir plusieurs images de pi\'edestaux
avant chacune des acquisitions de science, et quelques spectrogrammes de champ plan,
un de lampe \`a arc et un d'\'etoile standard avant et/ou apr\`es la s\'erie 
d'acquisitions de science.
Ceci permettrait d'avoir une estimation du comportement de l'instrument
au moment de l'observation.
En mode {\em service}, les images de calibration sont prises en fin de nuit,
et l'on devra s'en contenter.

D\'etaillons \`a pr\'esent les subtilit\'es d'estimation des divers
produits de calibration.
Avant d'ex\'ecuter la mod\'elisation, il faut d\'efinir la mani\`ere de grouper
les images (par configurations identiques et par p\'eriode de stabilit\'e),
et \'ecrire les cartes ASCII descriptives de chaque groupe (avec {\tt Python}).
Les cartes sont alors lues par les routines {\tt C++} pour mod\'eliser le produit 
de calibration d\'eriv\'e de chaque groupe.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BIAS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Une image de pi\'edestal, d'accord mais pourquoi donc ?}

Le capteur CCD dispose de 16 colonnes masqu\'ees de part et d'autre de la
surface effective. Ce sont les r\'egions de pr\'e-lecture et de post-lecture.
Ces r\'egions permettent de mesurer directement le niveau du pi\'edestal
au cours de l'acquisition.
Cependant, les images prises en mode {\tt MOS} sont tronqu\'ees de ces 
r\'egions (ce qui explique le passage de 2080 \`a 2048 pixels selon {\tt X}).
Elles le sont aussi des produits de calibration de la cha\^ine de r\'eduction
{\tt MIDAS}.
On utilisera alors le niveau de la r\'egion centrale comme r\'ef\'erence.
Cela permet de normaliser les pi\'edestaux {\tt MOS} entre eux, mais cette r\'egion
\'etant expos\'ee sur les autres types d'images, on ne pourra pas
normaliser le mod\`ele de pi\'edestal \`a leur niveau.


Les mod\`eles de pi\'edestaux montrent que la bande centrale, o\`u l'objet
est imag\'e, est tr\`es uniforme (voir Fig. \ref{fig:scan}-b ainsi que les 
mod\`eles pr\'esent\'es en Fig. \ref{img:compbias}).

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-2cm}
\subfigure % [Fluctuation du pi\'edestal sur un an]
{\includegraphics[width=7.5cm]{graphs/Scan_fullEvol.png}}
\subfigure % [Coupe de niveau centrale]
{\includegraphics[width=7.5cm]{graphs/Bias_Cut.png}}
}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it {\bf \`A gauche :} Fluctuation du niveau des r\'egions masqu\'ees 
des images de pi\'edestaux au cours de deux ann\'ees. Le d\'ecrochage 
\`a 365 jours peut \^etre imput\'e \`a une op\'eration de maintenance.
{\bf \`A droite : } Niveau moyen de la bande centrale d'un mod\`ele de pi\'edestal
{\tt MIDAS} (visible en Fig. \ref{img:compbias}), estim\'e sur 200 lignes. 
La dispersion est d'environ 0.2 ADU localement, \`a comparer
au bruit r\'esiduel attendu de $\frac{5.4}{1.46\sqrt{5}\sqrt{200}}=0.12\,ADU$
dans une hypoth\`ese d'ergodisme.
Une tendance appara\^it entre 0 et 300 pixels, zone g\'en\'eralement 
non illumin\'ee en spectroscopie.
}
\label{fig:scan}
}
\end{center}
\end{figure}

La soustraction d'un pi\'edestal uniforme ayant le niveau des r\'egions 
masqu\'ees est donc une option valable, bon compromis entre le bruit r\'esiduel 
ajout\'e (nul), et la pr\'ecision de l'estimation 
(bonne globalement mais pas localement).
Ceci n'est h\'elas pas praticable pour les observations en mode {\tt MOS}, 
tronqu\'ees de ces r\'egions masqu\'ees.

D'autre part, le calcul du pi\'edestal est une bonne entr\'ee en mati\`ere,
pour se familiariser avec {\tt CFITSIO}, tester les algorithmes de r\'ejection 
des rayons cosmiques et valider la propagation des incertitudes.
En effet, malgr\'e un temps d'exposition nul, le temps de lecture de l'image
suffit pour que des impacts aient lieu. L'absence de fond permet de tester 
la qualit\'e de d\'etection dans un cas favorable : la seule source de bruit
est la lecture, dont l'\'ecart-type est connu \`a priori.

Les images de pi\'edestaux ont aussi le potentiel de fournir une mesure
du bruit de lecture en chaque pixel.
Son \'ecart-type moyen est indiqu\'e dans les en-t\^etes, mais on aimerait 
s'assurer qu'il est pr\'ecis, et \'etudier l'uniformit\'e pixel \`a 
pixel de ce bruit.
L'absence de pixels chauds peut \^etre v\'erifi\'ee, et dans le cadre
de la propagation des incertitudes, l'assignation d'un bruit de lecture
propre \`a chaque pixel est un raffinement souhaitable.

\paragraph{Mod\'elisation du pi\'edestal :\\}

Les seuls changements de configuration influant sur ces images sont la taille 
({\tt NAXIS1} et {\tt NAXIS2}), et le mode de lecture\footnote{
La lecture des pixels peut se faire par 1 ou 4 ports 
(plus rapide, utilis\'e pour les pr\'e-acquisitions de pointage), 
en groupant les pixels par paires, et avec un gain haut ou bas. 
Les images de science sont lues par 1 port, sans groupement, et avec le gain haut :
{\tt CLOCK = A,1x1,high}.}
({\tt HIERARCH ESO DET OUT1 CLOCK}).
La forme du pi\'edestal est tr\`es stable, car il d\'ecoule des propri\'et\'es 
physiques des pixels et du circuit de lecture et d'amplification, 
isol\'es dans l'instrument. En revanche, le niveau moyen ($\sim 200\,ADU$) 
varie avec la temp\'erature, \`a l'\'echelle de quelques ADU par nuit, 
d'une dizaine d'ADU par lunaison, et d'une cinquantaine d'ADU par an
( c.f. Fig. \ref{fig:scan}-a).
L'intervalle de temps choisi pour cr\'eer les mod\`eles est d'un trimestre
(90 jours), compromis entre la r\'eduction du niveau de bruit r\'esiduel et
validit\'e des structures spatiales.

On consid\`ere que les pi\'edestaux sont identiques \`a une constante pr\`es. 
Ainsi, on corrige les fluctuations du niveau des zones masqu\'ees par un
coefficient additif appliqu\'e \`a toute l'image.
On construit de cette mani\`ere une s\'erie d'images que l'on esp\`ere 
stationnaire. 
Toutes les $N$ images renormalis\'ees ont un m\^eme niveau des zones 
masqu\'ees, et l'on peut appliquer notre moyenne robuste aux $N$ r\'ealisations 
ind\'ependantes de chaque pixel, en supposant un niveau de bruit uniform\'ement
\'egal au $RON$ fourni dans l'en-t\^ete.
Le bruit de lecture est ind\'ependamment estim\'e en chaque pixel comme 
l'\'ecart-type de l'\'echantillon valid\'e. Ceci afin de construire une image
du bruit de lecture susceptible d'\^etre utilis\'ee pour la suite de la 
calibration.


\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{
  \hspace{-10mm}
  \setcounter{subfigure}{0}
  \subfigure[Image brute]{
     \begin{tabular*}{0.2\textwidth}{@{}c@{}}
        \includegraphics[width=3cm]{images/bias/Raw_1.png}\\
	\includegraphics[width=3cm]{images/bias/Raw_1_ctr.png}
     \end{tabular*}
  }     
  \subfigure[{\tt MIDAS} (x5)]{
     \begin{tabular*}{0.2\textwidth}{@{}c@{}}
        \includegraphics[width=3cm]{images/bias/Mpb_5.png}\\
	\includegraphics[width=3cm]{images/bias/Mpb_5_ctr.png}
     \end{tabular*}
  }
  \subfigure[{\tt T3} (x25)]{
     \begin{tabular*}{0.2\textwidth}{@{}c@{}}
        \includegraphics[width=3cm]{images/bias/Mlb_25.png}\\
	\includegraphics[width=3cm]{images/bias/Mlb_25_ctr.png}
     \end{tabular*}
  } 
  \subfigure[{\tt T5} (x80)]{
     \begin{tabular*}{0.2\textwidth}{@{}c@{}}
        \includegraphics[width=3cm]{images/bias/Mlb_80.png}\\
	\includegraphics[width=3cm]{images/bias/Mlb_80_ctr.png}
     \end{tabular*}
  }
  \subfigure[{\tt Y2} (x195)]{
     \begin{tabular*}{0.2\textwidth}{@{}c@{}}
        \includegraphics[width=3cm]{images/bias/Mlb_195.png}\\
	\includegraphics[width=3cm]{images/bias/Mlb_195_ctr.png}
     \end{tabular*}
  }
}    
\mbox{
\subfigure %[Histogrammes r\'esiduels des mod\`eles]
{\includegraphics[width=8cm]{graphs/Bias_Histos.png}}
\subfigure %[]
{\includegraphics[width=8cm]{graphs/RON_trend.png}}
}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it Comparaison d'une image brute de pi\'edestal, et de mod\`eles
r\'ealis\'es avec 5 ({\tt MIDAS}), 
25 ({\tt T3}: Trimestre N$^\circ 3$ ),
80 ({\tt T5}: Trimestre N$^\circ 5$ ) 
et 195 ({\tt Y2}: Ann\'ee N$^\circ 2$ ) images.
{\bf En haut :} Images plein cadre
(les r\'egions masqu\'ees, plus sombres, se devinent aux bords de 
{\tt T3}, {\tt T5} et {\tt Y2}).
{\bf En bas :} Gros plans sur leurs r\'egions centrales ($200 \times 200$).  
{\bf \`A gauche :}Comparaison des histogrammes r\'esiduels de la r\'egion
centrale des 5 images de pi\'edestaux pr\'esent\'ees.
{\bf \`A droite :} Graphique de l'effet du nombre d'images moyenn\'ees sur 
l'\'ecart-type.
L'\'ecart-type d'une Loi de Poisson $\sigma(N)=\frac{\sigma_0}{\sqrt{N}}$ 
trac\'e utilise les valeurs de bruit de lecture 
{\tt RON} $=5.4\,e^-$ et de gain {\tt CONAD} $=1.46\,e^-/ADU$ 
contenus dans l'en-t\^ete de l'image brute pour d\'efinir 
$\sigma_0 = \tt{RON}/{\tt CONAD}=3.5\,ADU$.}
\label{img:compbias}
}
\end{center}
\end{figure}

En fonction du nombre d'observations, la quantit\'e d'images de pi\'edestaux
disponibles varie (entre 15 et 80).
Il est aussi possible de faire l'exercice sur l'ensemble des images d'une ann\'ee
(195 pour 2004). 
Comme on s'y attend, le niveau de bruit r\'esiduel, estim\'e par l'\'ecart-type
spatial au centre de l'image ($200 \times 200$, suppos\'e \'ergodique) 
diminue en cons\'equence, suivant presque la pr\'evision en $\sqrt{N}$ 
(c.f. Fig. \ref{img:compbias}-droite).
On observe \'egalement que l'on passe d'une image cod\'ee en nombres entiers
\`a des valeurs de plus en plus r\'esolues. 


Les structures provenant d'interf\'erences \'electroniques au cours de la lecture
(visibles sur l'image (c) de la Fig. \ref{img:compbias} ) ne sont pas statiques.
Le mod\`ele {\tt Y2} contient de nombreuses traces de telles structures,
dilu\'ees par le moyennage. Elles contaminent cependant l'estimation du
bruit de lecture, car l'hypoth\`ese de stationnarit\'e n'est plus vraie en 
pr\'esence de ces structures.
Les histogrammes de l'\'ecart \`a la moyenne dans la r\'egion centrale 
refl\`etent la diminution du bruit de lecture r\'esiduel,
et la pr\'esence de structuration (c.f. Fig. \ref{img:compbias}-gauche).

\paragraph{${\bf 1^{er}}$ produit d\'eriv\'e, l'image du bruit de lecture :\\}

Dans le m\^eme temps que l'on moyenne les images pour construire le mod\`ele
de pi\'edestal, l'\'ecart-type des valeurs normalis\'ees prises en chaque pixel
pour toutes les images sert \`a construire une image du bruit de lecture.

Le format {\tt FITS} permet d'ajouter plusieurs images ou tables \`a un fichier,
en tant qu'extensions.
L'image du bruit de lecture sera la premi\`ere extension de l'image de pi\'edestal,
la seconde \'etant la table des pixels rejet\'es.

Ces images montrent que le bruit de lecture n'est pas identique pour tous
les pixels : certains sont plus stables. L'amplitude des \'ecarts reste 
n\'eanmoins faible ($\Delta\sigma_{RON} \sim 0.5\,ADU$, c.f. Fig. \ref{img:ron}).
Dans certains cas, le bruit de quelques pixels s'\'ecarte beaucoup de la valeur 
moyenne ($\sigma_{max} \sim 15$).
Comme ils ne sont pas syst\'ematiquement d\'eviants, on ne peut les
qualifier de {\em pixels chauds}, et les masquer sur chaque image.
Ils sont rares, pas si aberrants, et l'on se contente donc de leur
bruit plus fort, qui leur donnera un poids plus faible.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.5cm}
\subfigure %[]
{\includegraphics[width=6cm]{images/bias/Mron_80_ctr.png}}
\subfigure %[]
{\includegraphics[width=9cm]{graphs/RON_Histos.png}}
}
\caption{
{\it {\bf Gauche :} Gros plan sur la r\'egion centrale de l'image du bruit de 
lecture du mod\`ele {\tt T5}.
L'\'echelle de couleur va de 2.8 \`a 4.8 ADU.
{\bf Droite :} Histogrammes du bruit de lecture dans cette r\'egion, pour les 3 
mod\`eles {\tt T3}, {\tt T5} et {\tt Y2}.
}
\label{img:ron}
}
\end{center}
\end{figure}

\paragraph{${\bf 2^{nd}}$ produit d\'eriv\'e : la carte des rayons cosmiques :\\}

La position et la puissance des pixels ayant \'et\'e rejet\'es car trop
d\'eviants sont enregistr\'es au moment de leur d\'etection dans une
seconde extension de l'image de pi\'edestal.

Pour v\'erifier le bon comportement de l'algorithme de r\'ejection, 
on peut observer la r\'epartition spatiale des pixels rejet\'es, et
la distribution en puissance des impacts d\'etect\'es.

Ceci appara\^it en Fig. \ref{fig:cosmics}, pour le mod\`ele {\tt T3},et l'on note 
une surdensit\'e dans la partie haute de l'image. 
\'Etrange au premier abord, cela s'explique par l'effet du temps de lecture : 
les derni\`eres lignes \`a \^etre lues sont expos\'ees plus longtemps
et ont plus de chance d'\^etres impact\'ees.

La r\'epartition en puissance montre que l'on ne d\'etecte rien en de\c{c}a
de 17 ADUs (avec $N\sigma_{RON}=5 \times 3.5=17.5\,ADU$, c'est normal).
On rejette \`a peu pr\`es autant de pixels pour des d\'eviations comprises
entre 20 et 100 qu'entre 100 et 1000.
L'aspect bimodal de la distribution peut s'interpr\'eter comme la participation
des ailes de la fonction de r\'epartition au-del\`a de $5\sigma$ pour la 
partie basse, et celle des authentiques rayons cosmiques pour la partie haute.

Le taux de r\'ejection vaut ici $\frac{6748}{25 \times 2048 \times 2048}=0.006\,\%$,
bien sup\'erieur \`a la pr\'evision de $0.00003\,\%$ pour une loi normale
d'\'ecart-type bien estim\'ee, avec une coupure haute \`a $5\sigma$.
On sous-estime peut-\^etre $\sigma_{RON}$, et la loi de r\'epartition ne 
ressemble s\^urement pas \`a une gaussienne. D'origine thermique et r\'eduit 
\`a une poign\'ee d'unit\'es de lecture, le bruit suit une loi poissonnienne
qui s'\'eloigne de l'approximation normale (c.f. Fig. \ref{fig:scan}).


\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{
\hspace{-10mm}
\subfigure %[]
{\includegraphics[width=8cm]{graphs/Bias25_Cosmic_Map.png}}
\subfigure %[]
{\includegraphics[width=8cm]{graphs/Bias25_Cosmic_Histo.png}}
}
\caption{
{\it {\bf \`A gauche :} Carte des 6748 pixels rejet\'es lors de la cr\'eation du 
mod\`ele {\tt T3}.
Les pixels correspondant \`a une m\^eme image d'origine sont cod\'es avec la
m\^eme couleur (l'inverse est faux, il y a 5 couleurs et 25 images).
{\bf \`A droite :} Histogramme de puissance des impacts, en repr\'esentation 
Log-Log.
Attention, les intervalles de comptage ne sont pas r\'eguliers, mais suivent 
l'\'echelle logarithmique : le premier couvre $\sim 1\,ADU$, 
le dernier en couvre $\sim 700$.
}
\label{fig:cosmics}
}
\end{center}
\end{figure}

\paragraph{}
En conclusion, on dispose maintenant de mod\`eles profonds de pi\'edestal,
dont le niveau de bruit r\'esiduel est r\'eduit \`a moins d'un ADU,
et de mod\`eles du bruit de lecture en chaque pixel.
Le bruit dominant provenant plut\^ot du bruit de photon du fond de ciel, cette
am\'elioration aura peu d'effet sur le rapport signal \`a bruit final.
La fluctuation du  niveau des zones masqu\'ees sert \`a normaliser les images.

%Une normalisation additive (translation) plut\^ot que multiplicative 
%(homoth\'etie) peut \^etre plus ad\'equate, et devrait \^etre investigu\'ee.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FLAT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{La carte de sensibilit\'e : quelle date de p\'eremption ?}

Ajoutons maintenant une illumination spectrale uniforme \`a ce pi\'edestal, pour 
faire appara\^itre les variations de sensibilit\'e pixel \`a pixel.
Le temps d'exposition est choisi par les astronomes de l'ESO ($\sim 9\,sec.$)
afin d'approcher le niveau de saturation du CCD (65535 ADU) sans l'atteindre.
Le bruit de lecture est alors n\'egligeable devant le bruit de photons.

De nouveau, on r\'eduit ce bruit en moyennant plusieurs acquisitions comparables.
En plus de la taille et du mode de lecture, la configuration instrumentale 
importe :
la position et la taille de la fente et le grisme utilis\'e modifieront les 
franges d'interf\'erence.
Le d\'ep\^ot de poussi\`eres sur les optiques de champ et sur la fen\^etre du capteur
rompt la stationnarit\'e et limite l'intervalle de temps de moyennage.

Il est envisageable de factoriser la carte de sensibilit\'e en trois composantes : 
la transparence des pixels (stationnaire et {\em blanche}\footnote{
i.e. ind\'ependante de $\lambda$, donc du couple fente/grisme, par opposition 
aux franges {\em color\'ees}.}),
les franges d'interf\'erences (stationnaires pour une configuration fente/grisme 
donn\'ee) et la carte des poussi\`eres (non stationnaire).

On se limite pour l'heure \`a construire un mod\`ele de champ plan par lunaison
et par configuration.
En effet, tr\`es peu de poussi\`eres se d\'eposent en une dizaine de jours.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.5cm}
\subfigure % [Fluctuation du pi\'edestal sur un an]
{\includegraphics[width=7cm]{images/flat/RawFlat.png}}
\subfigure % [Coupe de niveau centrale]
{\includegraphics[width=7cm]{graphs/Slit_Effect.png}}
}
\caption{
{\it {\bf \`A gauche :} Exemple d'un spectrogramme longue fente de lampe 
\`a incandescence.
{\bf \`A droite : } Spectre estim\'e sur des spectrogrammes obtenus avec
diff\'erentes fentes.
}
\label{img:rawflat}
}
\end{center}
\end{figure}



\paragraph{Normalisation par le spectre de la lampe :\\}

Pour obtenir une sensibilit\'e {\em relative}, le spectrogramme de la lampe
\`a incandescence est divis\'e par son propre spectre. 
Il faut donc estimer celui-ci, mais sans conna\^itre encore la sensibilit\'e 
des pixels.
C'est cette estimation qui d\'efinira la r\'ef\'erence unitaire du champ plan.

La cha\^ine de r\'eduction {\tt MIDAS} proc\`ede \`a un moyennage glissant sur
une r\'egion d'une centaine de lignes et quelques colonnes pour estimer le
niveau d'illumination local.
Cette m\'ethode \`a l'inconv\'enient de sous-estimer l'illumination des zones
de faible sensibilit\'e \'etendues, et fait appara\^itre des fant\^omes dont
la transparence est sur-estim\'ee au-dessus et au-dessous des zones sombres
(c.f. Fig. \ref{img:compflat}). 
\`A proximit\'e de la coupure du filtre d'isolement d'ordre, 
o\`u l'illumination passe rapidement de z\'ero \`a plusieurs milliers d'ADU, 
la sensibilit\'e ainsi calcul\'ee n'est plus centr\'ee sur l'unit\'ee, mais
d\'ecro\^it localement jusqu'\`a $\sim 0.6$.
Autre source d'\'etonnement : les trois derni\`eres lignes sont \`a z\'ero !

Il faut aussi remarquer que l'homog\'en\'eit\'e de l'illumination n'est pas
parfaite : le profil spatial d'intensit\'e de la lampe n'est pas strictement
uniforme, le collimateur et les optiques introduisent un vignettage aux coins
du champ, et la largeur de la fente n'est pas parfaitement constante 
(poussi\`ere obstructices, irr\'egularit\'ees de d\'ecoupe).
Le vignettage et l'irr\'egularit\'e de la fente seront aussi pr\'esentes lors
des acquisitions de sciences et doivent donc appara\^itre dans le champ plan, 
mais l'intensit\'e irr\'eguli\`ere de la lampe doit \^etre corrig\'ee.
Il y a cependant une forte d\'eg\'en\'erescence entre ces effets.

Dans un premier temps, j'ai utilis\'e l'algorithme de moyenne robuste pour
estimer le spectre de la lampe dans des bandes de 200 lignes.
Dans l'hypoth\`ese o\`u les variations de la lampe sont \'etendues,
et que celles de la fente sont localis\'ees, les spectres obtenus dans chaque
bande sont interpol\'es lin\'eairement en chaque ligne.
On corrige ainsi en partie la variation d'intensit\'e de la lampe, ainsi que
le vignettage.

N\'eanmoins, en raison des termes en {\tt Y} de la fonction de dispersion, 
l'interpolation dans les zones de fort gradient d'illumination entra\^ine
un ph\'enom\`ene de {\em cr\'enelage}\footnote{ou {\em aliasing} : apparition
de signaux artificiels \`a des fr\'equences proches de celle du 
r\'e\'echantillonnage lorsque celui-ci ne respecte pas le crit\`ere de 
Shannon-Nyquist d'un pas inferieur \`a la moiti\'e des plus petits d\'etails 
du signal.}.
Cela n'arrive qu'aux bords de l'image (c.f. Fig. \ref{img:compflat}),
mais ce n'est pas tr\`es satisfaisant.

Pour corriger ce cr\'enelage, il faut utiliser la fonction de dispersion.
On ne l'a pas encore calcul\'ee (il est pr\'ef\'erable de disposer du champ
plan auparavant), mais elle n'a pas besoin d'\^etre tr\`es pr\'ecise ici.
Un mod\`ele moyen d\'eriv\'e des fonction de dispersion calcul\'ees par {MIDAS}
est utilis\'e (c.f. ci-apr\`es) : les spectres estim\'es dans chaque bande
de 200 lignes sont transpos\'es dans l'espace spectral, puis moyenn\'es.
On dispose ainsi d'une estimation globale du spectre de la lampe.
Ensuite, pour chaque ligne, ce spectre est \'echantillonn\'e selon les 
$\lambda$ correspondant aux pixels, et la ligne est divis\'ee par icelui.

On suppose donc que l'illumination est parfaitement uniforme, et le champ plan
refl\`ete \`a la fois le vignettage, l'irr\'egularit\'e de la fente et les 
variations d'intensit\'e de la lampe.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{
  \hspace{-10mm}
  \setcounter{subfigure}{0}
  \subfigure[{\tt MIDAS} (5 acq.)]
  {\begin{tabular*}{5.1cm}{@{}c@{}}
    \includegraphics[width=5cm]{images/flat/Mpf_5.png}\\
    \includegraphics[width=5cm]{images/flat/Mpf_ghostcut.png}
  \end{tabular*}
  }   
  \subfigure[Interpol\'e (10 acq.)]
  {\begin{tabular*}{5.1cm}{@{}c@{}}
     \includegraphics[width=5cm]{images/flat/old_Mlf_10.png}\\
     \includegraphics[width=5cm]{images/flat/Mlf_aliasing.png}
  \end{tabular*}
  }
  \subfigure[Uniforme (10 acq.)]
  {\begin{tabular*}{5.1cm}{@{}c@{}}
    \includegraphics[width=5cm]{images/flat/Mlf_10.png}\\
    \includegraphics[width=5cm]{images/flat/Mlf_cut.png}
  \end{tabular*}
  }
}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it Comparaison des images de champ plan obtenues par {\tt MIDAS},
en interpolant entre bandes, et en supposant une illumination uniforme.
{\bf En haut :} Images plein cadre, avec les m\^emes coupures $0.95<f<1.05$.
{\bf En bas :} Gros plans sur les d\'etails \'evoqu\'es : 
sur-estimation de part et d'autre d'une zone sombre, et sous-estimation
au niveau de la coupure \`a $4150\,\angstr$ par {\tt MIDAS} (a),
cr\`enelage d\^u \`a l'interpolation lin\'eaire au bord (b)
et changement de r\'egime de normalisation \`a $4150\,\angstr$ (c).}
\label{img:compflat}
}
\end{center}
\end{figure}

Enfin, pour que la normalisation des champs plans de science pris en mode 
{\tt LSS} et ceux des \'etoiles standard prises en mode {\tt MOS} soient 
\'equivalentes, le spectre des lampes doit \^etre estim\'e dans la m\^eme 
r\'egion du {\tt CCD}. Le mode {\tt MOS 2048$\times$400} g\'en\'eralement
utilis\'e impose donc de calculer le spectre des lampes dans la bande centrale
de 400 lignes des spectrogrammes {\tt LSS}.
Deux bandes de 200 lignes sont utilis\'ees par d\'efaut.


\paragraph{Moyennage des spectrogrammes :\\}

La construction du champ plan comporte deux \'etapes ind\'ependantes :
la normalisation \`a l'unit\'e, et le moyennage de plusieurs r\'ealisations.
L'ordre dans lequel ces deux op\'erations sont effectu\'ees n'importe pas.

Comme l'estimation du spectre et le passage dans l'espace des $\lambda$ est 
plus lent que le moyennage, on pr\'ef\`ere moyenner d'abord et aplanir ensuite.

De m\^eme que pour le pi\'edestal, il faut normaliser auparavant les 
spectrogrammes bruts pour les mettre tous au m\^eme niveau d'illumination.
En effet, l'intensit\'e de la lampe d\'erive asymptotiquement jusqu'\`a 
atteindre l'\'equilibre (c.f. Fig. \ref{fig:lamps}).
Lorsque la variation est trop importante, {\tt MIDAS} invalide certaines
images pour ne garder que les plus ressemblantes. 
Il arrive que 2 images sur 5 soient ainsi invalid\'ees.
On peut estimer l'intensit\'e de multiples fa\c{c}ons : dans une r\'egion
centrale, selon une grille ou en une colonne par exemple.
Il suffit d'utiliser le m\^eme estimateur pour tous les spectrogrammes.

En fait, pour bien illuminer l'ensemble de l'intervalle spectral, du proche UV
au proche IR, l'ESO utilise deux lampes de temp\'eratures diff\'erentes :
{\tt FlatBlue} et {\tt FlatRed}, dont le maximum d'\'emmission se fait \`a 
$4600\,\angstr$ et $7000\,\angstr$ respectivement.
Comme leur intensit\'e varie ind\'ependamment, il n'est pas possible d'utiliser
un unique facteur de normalisation par image.
Si l'on disposait de leur spectre bien mesur\'e et de la fonction de r\'eponse,
on pourrait se contenter de deux param\`etres (un pour chaque lampe).
Une analyse en composantes principales peut aussi permettre d'isoler
les spectres de chaque lampe.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{ \hspace{-1.0cm}
\begin{tabular}[b]{cc}
\includegraphics[width=8cm]{graphs/Lamp_Evol.png} &
\begin{minipage}[b]{3cm}
\caption{
{\it Mise en \'evidence de la fluctuation d'intensit\'e de la lampe
{\tt FlatBlue} au cours de 5 acquisitions de 8.7 secondes cons\'ecutives, 
\`a 2 minutes d'intervalle.
Une variation de $\sim 10\,\%$ appara\^it ici.}
\label{fig:lamps}
}\end{minipage}
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{figure}


On se contentera ici de calculer ce facteur en chaque colonne 
(\`a chaque $\lambda$), comme le rapport entre le flux moyen de cette
colonne pour une image et la moyenne $F_{moy}(X)$ de ces flux moyens 
pour toutes les images.

Normalis\'ees par ce facteur, les $N$ images ont la m\^eme illumination moyenne en
chaque colonne, et l'on peut appliquer l'algorithme de moyenne robuste aux $N$
r\'ealisations de chaque pixel, rejetant ainsi les impacts de rayons cosmiques, 
et r\'eduisant le bruit de photons d'un facteur $\sqrt{N}$.

\paragraph{Les petits d\'etails :\\}

Il va sans dire que le mod\`ele de pi\'edestal normalis\'e au niveau des r\'egions
masqu\'ees de chaque spectrogramme est soustrait avant chaque estimation et
avant le moyennage.

En de\c{c}a de $4150\,\angstr$, le filtre d'isolement d'ordre absorbe les photons,
et l'illumination ne provient que d'un peu de lumi\`ere diffus\'ee.
Elle ne suit pas la fonction de dispersion, et si l'on divise par son faible 
niveau, le bruit r\'esiduel est \'enorme.
On change donc de r\'egime de normalisation en de\c{c}a de $4150\,\angstr$, ainsi
que dans les r\'egion masqu\'ees : la sensibilit\'e $f$ y est d\'efinie comme
l'unit\'e plus la diff\'erence entre le flux $F_{pix}$ dans le pixel et le 
flux moyen $F_{moy}$ de la colonne pour toutes les images, en terme du niveau 
moyen des r\'egions masqu\'ees du pi\'edestal $B_{ref}$ : 
$f(X,Y)=1 + \frac{F_{pix}(X,Y)-F_{moy}(X)}{B_{ref}}$.
Cette d\'efinition ad-hoc permet de garder la trace de la lumi\`ere diffus\'ee,
sans avoir de valeurs trop d\'eviantes de l'unit\'e.

Alors que l'on n'utilise qu'un mod\`ele de pi\'edestal par trimestre, on
construit un champ plan par lunaison et par configuration utilis\'ee, 
car 5 images suffisent pour obtenir un bon niveau de bruit.
\`A quatre mod\`eles de pi\'edestal par an, s'ajoutent 24 mod\`eles de
champ plan par an, dans l'hypoth\`ese o\`u deux configurations diff\'erentes
sont utilis\'ees par lunaison. Et autant pour la calibration des \'etoiles standard
prises en mode {\tt MOS}.
Le nombre d'images moyenn\'ees varie ici de 5 \`a 35. 
Le nombre d'\'etapes, les raffinements apport\'es et la taille des images rendent 
le temps de calcul du champ plan le plus important de toutes les mod\'elisations.
Pour 5 images {\tt LSS}, il est d'environ une minute sur un poste de travail.


\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{
  \hspace{-1em}
  \subfigure[Fente 1.0'']
  {\includegraphics[width=5cm]{images/flat/Fringe_10.png}}
  \subfigure[Fente 0.7'']
  {\includegraphics[width=5cm]{images/flat/Fringe_07.png}}
  \subfigure[Fente 1.3'']
  {\includegraphics[width=5cm]{images/flat/Fringe_13.png}}
}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it Comparaison des franges d'interf\'erences obtenues aux grands
$\lambda$, en fonction de la longue fente utilis\'ee.
Avec la fente de  1.0'', les longueur d'ondes sont plus \'elev\'ees
en une m\^eme position du CCD qu'avec la fente de 0.7'', et avec celle-ci
qu'avec celle de 1.3'' (voir Fig. \ref{img:rawflat}).
Le code des couleurs et identique (de 0.95 \`a 1.05).
On distingue quelques poussi\`eres fixes, qui diffusent la lumi\`ere 
autour d'elles, et de nombreux pixels sombres.}
\label{img:fringes}
}
\end{center}
\end{figure}

Il est possible de construire une image du bruit statistique associ\'ee aux
champs plans :
pour une illumination $F$, le bruit r\'esiduel normalis\'e de lecture et de photons
s'\'ecrit $\sigma_f = \frac{\sqrt{(\frac{RON}{g})^2+\frac{F}{g}}}{F}
= \frac{1}{\sqrt{F}}\sqrt{\frac{1}{g}+\frac{RON^2}{Fg^2}}$.
Pour un $F$ sup\'erieur \`a $10000\,ADU$, en n\'egligeant la composante du bruit de 
lecture, on trouve $\sigma_f < \frac{0.01}{\sqrt{g}}$, de l'ordre du pourcent.
En combinant une dizaine d'images, on descend \`a quelques pour mille.
L'effet propag\'e de cette incertitude sur un flux calibr\'e $F_0$ s'\'ecrit 
$\sigma_{fprop} = \sigma_f \frac{F-B}{f^2}  = F_0\frac{\sigma_f}{f} 
\cong F_0 \sigma_f$.

Donc pour des flux de fond de ciel inf\'erieurs \`a $100\,ADU$ par pixel, 
$\sigma_{fprop}$ est inf\'erieur \`a $1\,ADU$, et est petit par rapport 
au bruit de lecture ($\sim 3.5\,ADU$) 
et au bruit de grenaille ($\sqrt{\frac{F}{g}} \sim 10\,ADU$).
On n\'egligera donc ce bruit propag\'e, \'economisant ainsi autant d'images de 
bruit r\'esiduel qu'il y a d'images de champs plans.


\paragraph{}
Fort de ces mod\`eles de calibration cosm\'etique de l'instrument, il est d\'ej\`a
possible de calibrer, soustraire du ciel et combiner les spectrogrammes de science,
puis d'extraire le signal spectral.
La calibration en longueur d'onde et en flux peuvent se faire apr\`es coup sur le 
spectre extrait (en $ADU/pixel$).
N'anticipons pas et terminons de d\'ecrire la mani\`ere d'estimer la fonction
de dispersion et la r\'eponse instrumentale.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% WAVE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{La fonction de dispersion : effets de flexion ?}
\label{sec:dispersion}

On a vu que la fonction de dispersion est utile au calcul du champ plan, car
tout spectrogramme en est affect\'e.
Ceux de lampes \`a arc sont comparables \`a l'\'emission ionosph\'erique
du ciel, peupl\'e de fines raies uniformes spatialement, mais qui apparaissent 
courb\'ees de quelques pixels du haut au bas du CCD (c.f. Fig. \ref{img:wave}).
Les termes de distorsion sont donc essentiels pour soustraire les raies 
d'\'emission du ciel si le spectrogramme n'a pas \'et\'e r\'e\'echantillonn\'e 
pour corriger la distorsion.

Les fonctions de dispersion calcul\'ees par \MIDAS\ permettent de construire
un mod\`ele moyen de cette fonction globalement stable.
L'effet g\'eom\'etrique provoqu\'e par le d\'eplacement $\Delta x_{foc}$ 
de la fente dans le plan focal peut \^etre approxim\'e par une d\'ependance 
lin\'eaire des coefficients polynomiaux en {\tt X}.

La variation de la longueur d'onde centrale peut d'ailleurs \^etre anticip\'ee :
\[ \frac{\Delta \lambda}{\Delta x_{foc}} = 
G_{coll} \frac{\Delta\lambda_{pix}}{\Delta x_{pix}} 
\simeq -0.23\ \frac{2.65\ [\angstr/pix]}{24\ [\mu m/pix]} \simeq -25\ \angstr/mm\]
o\`u $G_{coll}$ est le grandissement du collimateur standard (estim\'e \`a partir
de la focale effective de FORS1 en mode standard : 
$f_{FORS} = \frac{\Delta x_{pix}}{\Delta \alpha_{pix}} 
= 24 \mu m / 0.2 '' \simeq 25\ m$ et de la focale $f_{UT}$ 
des UTs, valant $108\,m$. Donc $G_{coll} = - \frac{f_{FORS}}{f_{UT}} \simeq -0.23$)
et $\Delta\lambda_{pix}$ et $\Delta x_{pix}$ sont la taille des pixels,
respectivement en $\angstr$ et en $mm$.
Ainsi, l'\'echelle des \lda\ augmente de 
$\sim\ 300\,\angstr$ entre la fente centrale de 0.28'' et celle de 1.0'' 
(\`a $\Delta x_{foc}=-12\ mm$, c.f. Fig.\ref{img:rawflat}).

Les variations provenant de la flexion de l'instrument ne sont par contre
pas facilement mod\'elisables, mais elles sont d'amplitude beaucoup plus 
petite ($\sim 1\,\angstr$ durant une heure de suivi).

La solution de dispersion est un ajustement polynomial des positions des raies
d'\'emission de la lampe \`a arc.
La trace de chaque raie suit l'iso-$\lambda$ correspondant de la fonction de 
dispersion (c.f. Fig. \ref{img:wave}-a).
Avant de pouvoir ajuster, il faut avoir d\'etect\'e et associ\'e le plus grand
nombre de raies avec leur longueur d'onde mesur\'ee en laboratoire.
Le probl\`eme n'est pas trivial si l'on ne dispose pas d\'ej\`a d'une solution
approch\'ee, qui fournisse la position \`a laquelle on doit s'attendre \`a 
trouver chaque raie.
J'ai utilis\'e les fichiers de calibration en $\lambda$ {\tt sci\_wave\_0000.tfits}
pour calculer une telle solution approch\'ee.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{
\subfigure[Spectrogramme brut]
{\includegraphics[width=7cm]{images/wave/RawWave.png}}
\subfigure[Profil central]
{\begin{tabular}[b]{c}
\hspace{0.12cm}
\includegraphics[width=6.26cm]{images/wave/RawWave_warp.png}\\
\includegraphics[width=7cm]{graphs/Arc_Profil.png}
\end{tabular}}
}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it {\bf \`A gauche :} Spectrogramme brut des lampes \`a arc.
{\bf \`A droite :} Spectrogramme anamorphos\'e rendant visible la
distorsion optique (haut).
Profil d'intensit\'e moyen central. Les raies d'\'emission utilis\'ees
pour l'ajustement polynomial de la fonction de dispersion sont identifi\'ees (bas).
Les echelles de couleur et d'intensit\'e sont logarithmiques.}
\label{img:wave}
}
\end{center}
\end{figure}

\paragraph{Construction du mod\`ele global de dispersion :\\}

Les tables {\tt FITS} produites et utilis\'ees 
par \MIDAS\ contiennent les 4 coefficients en \Xp\ jusqu'\`a l'ordre 3, pour 
80 positions selon \Yp\ :
\[ \lambda(\Xp)_{\Yp_i}=C_{0,\Yp_i}+C_{1,\Yp_i}\Xp+C_{2,\Yp_i}\Xp^2
+C_{3,\Yp_i}\Xp^3 \]

On trouve aussi dans l'en-t\^ete, au format {\tt HISTORY} sp\'ecifique \`a \MIDAS, 
l'ensemble des coefficients en \Xp, \Yp\ et {\tt XY} ({\tt COEFSLIT1}),
le degr\'e du polynome en \Xp, \Yp\ et \Xp\Yp\ ({\tt NORMCOORD}) 
ainsi que les origines et la normalisation ({\tt CENTERXY}) d\'efinissant
l'approximation polynomiale bidimensionnelle de la fonction de dispersion.
En fouillant les routines \MIDAS\ relatives \`a la dispersion ou avec un peu
d'intuition, on decrypte le format des en-t\^etes de la fa\c{c}on suivante :\\

\begin{scriptsize}
\hspace{-2em}
\begin{tabular}[c]{l|l}
\begin{minipage}[b]{10.5cm}\begin{scriptsize}\begin{verbatim}
>dfits calibs/sci_wave_0000.tfits
[...]
HISTORY  ESO-DESCRIPTORS START   ................
HISTORY  'COEFSLIT1','R*8',1,8,'3E23.15'
HISTORY    6.1473891799720E+03  2.7232378877427E+03  8.4196756656386E+01
HISTORY   -4.1598754221243E+01  3.9729174385012E-01  1.3467187732988E+01
HISTORY    6.1584631874311E-01 -1.5998412750378E+01
HISTORY  \end{verbatim}\end{scriptsize}\end{minipage}
& 
\begin{tabular}[b]{lll} C0  &  Cx  &  Cx2 \\
  Cx3 &  Cy  &  Cy2 \\  Cxy &  Cxy2 & \\ & & \end{tabular} \\

\begin{minipage}[b]{11cm}\begin{scriptsize}\begin{verbatim}
HISTORY  'NORMCOORD','I*4',1,5,'7I10'
HISTORY           1         4         2         2         0
HISTORY  \end{verbatim}\end{scriptsize}\end{minipage}
&
\begin{tabular}[b]{llll}  1  & 1+Ox  & Oy & Oxy\\ & & & \end{tabular} \\

\begin{minipage}[b]{11cm}\begin{scriptsize}\begin{verbatim}
HISTORY  'CENTERXY','R*8',1,3,'3E23.15'
HISTORY    1.0310000000000E+03  1.0193000000000E+03  1.0240000000000E+03
HISTORY  [...]  \end{verbatim}\end{scriptsize}\end{minipage}
& 
\begin{tabular}[b]{lll}  $X_0$  & $Y_0$  &  $N_0$ \\ & & \end{tabular}\\ 

\end{tabular}\\
\end{scriptsize}
\vspace{1ex}

Et la fonction de dispersion, approxim\'ee par un polyn\^ome bidimensionel de
degr\'e $Ox=3$ en \Xp, $Oy=2$ en \Yp\ et $Oxy=2$ en \Xp\Yp, fonction des variables 
r\'eduites $x = \frac{\Xp-X_0}{N_0}$ et $y = \frac{\Yp-Y_0}{N_0}$ s'\'ecrit :
\[ \lambda(x,y) = C_0 \begin{array}[t]{lllc}
                  + C_{x}\ x   & + C_{x2}\ x^2   & + C_{x3}\ x^3 & [Ox] \\
		  + C_{y}\ y   & + C_{y2}\ y^2   &             & [Oy] \\
		  + C_{xy}\ xy & + C_{xy2}\ xy^2 &             & [Oxy]
		  \end{array}
\]

Un programme {\tt Python} se charge de lire ces 8 coefficients dans les en-t\^etes
de toutes les tables produites par \MIDAS, ainsi que les param\`etres
de configuration de l'instrument (grisme et position de la fente).
Les fonctions de dispersion sont r\'e\'ecrites pour une origine ($X_0,Y_0$) 
commune, autorisant leur comparaison, et moyenn\'ees par lunaison.

Un ajustement lin\'eaire des coefficients en fonction de la position $\Delta x$ 
de la fente permet de d\'efinir un mod\`ele global de dispersion 
(c.f. Fig. \ref{fig:Cdisp}).
Dans le cas du grisme 300V mont\'e sur l'UT1, au vu des ajustements pr\'esent\'es 
en figure \ref{fig:Cdisp}, le mod\`ele retenu serait :
\[ \begin{array}[t]{lll|ll|ll} 
   C_0 (\Delta x)    & = 5865.0  & - 24.7\ \Delta x_{foc}\quad  & 
    C_{y}   & = 0.0  & C_{xy}  & = 0.0 \\
   C_{x} (\Delta x)  & = 2710.0  & - 1.2\  \Delta x_{foc}\quad  & 
    C_{y2}  & = 14.5 & C_{xy2} & = -16.0 \\
   C_{x2} (\Delta x) & = 93.6    & + 0.8\  \Delta x_{foc}\quad  & & & &  \\
   C_{x3} (\Delta x) & = -43.7   & - 0.2\  \Delta x_{foc}\quad  & & & & 
\end{array}
\]
o\`u les coefficients sont exprim\'es en $\angstr$ et $\Delta x_{foc}$ en $mm$.
L'origine est choisie \`a $(X_0,Y_0) = (1040,1024)$ et la normalisation est
conserv\'ee \`a $N_0 = 1024$.
Le terme d'inclinaison $C_y$ est globalement nul. Le terme crois\'e $C_{xy}$
pr\'esente un instabilit\'e suspecte, et sera consid\'er\'e nul.
L'\'ecart fr\'equent des coefficients mesur\'es pour la fente de 0.7''
est r\'ev\'elateur de la limitation intrins\`eque du model : il n'est pr\'ecis que
dans l'espace couvert par les observations : 30 avec les fentes 1.0'' et 1.3'', 
et 2 avec la 0.7''.
$C_{y^2}$ est stable et corr\'el\'e avec la position de la fente, mais suffisamment 
peu pour que cela soit n\'eglig\'e.
 
\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
\hspace{-5mm}
\includegraphics[width=16cm]{graphs/dslit_Mid_Cdisp.png}}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it Ajustement lin\'eaire des coefficients de dispersion calcul\'es
par \MIDAS, en fonction de la position $\Delta x_{foc}$ de la fente.
Seules les dispersions en mode longue fente et avec le grisme 300V,
prises entre Juillet 2003 et Janvier 2005, moyenn\'ees par lunaison,
sont utilis\'es ici.
3 positions de la fente y sont pr\'esentes : 
-12 (1.0''), 12 (0.7'') et 18 (1.3'') $mm$.
Les mesures prises sur l'UT1 sont marqu\'ees $+$, celles sur l'UT2 $\times$.}
\label{fig:Cdisp}}
\end{center}
\end{figure}


Ce mod\`ele moyen, approximatif, ne pr\'etend pas r\'esoudre le probl\`eme de la 
dispersion, mais simplement guider les algorithmes de d\'etection et 
d'identification des raies d'\'emission, qui fourniront un mod\`ele pr\'ecis 
pour un spectrogramme de lampe \`a arc donn\'e.
Consid\'erer simplement 6 coefficients polynomiaux et une correction :
\[ \lambda(x,y,\Delta x) = C_0-25\Delta x_{foc} + C_x x + C_{x2} x^2 + C_{x3} x^3
+C_{y2} y^2 + C_{xy2} x y^2 \]
serait assez pr\'ecis pour trouver facilement les raies d'\'emission. 
Il sera affin\'e par la suite, lorsque l'on disposera de nos propres
solutions de dispersion.


\paragraph{Identification des raies d'\'emission de lampes \`a arc :\\}

La fonction de dispersion sera d'autant mieux contrainte que le nombre de raies est
grand, et que leur r\'epartition est r\'eguli\`ere.
Pour augmenter le nombre de raies d'\'emission, l'ESO allume simultan\'ement 
plusieurs lampes \`a arc contenant des gaz de compositions diff\'erentes
(H\'elium, Mercure/Cadnium et Argon). Leurs acronymes sont list\'es dans les en-t\^etes : 
\begin{scriptsize}
\begin{verbatim} 
HIERARCH ESO INS LAMP1 NAME  = 'He+1    '   / Name of the lamp switched on
HIERARCH ESO INS LAMP2 NAME  = 'HgCd+2  '   / Name of the lamp switched on
HIERARCH ESO INS LAMP3 NAME  = 'Ar+1    '   / Name of the lamp switched on
HIERARCH ESO INS LAMP4 NAME  = 'Ar+2    '   / Name of the lamp switched on
\end{verbatim}
\end{scriptsize}
Le Manuel de R\'ef\'erence de FORS1+2\footnote{
{\bf FORS1+2 User Manual} \cite{fors}\ :\ 
{\tt www.eso.org/instruments/fors/doc/VLT-MAN-ESO-13100-1543\_v77.pdf}}
contient la liste des 100 principales raies excit\'ees, 
dont voici la longueur d'onde des plus intenses et isol\'ees,
en $\angstr$ dans l'air (et non dans le vide), et en fonction de l'ion \'emetteur :
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|rc}
\hline
Hg I & He I & Ar I & \\
\hline 
3650.144 & 3888.6460 & 6965.4307 & 8667.9443 \\
4046.557 & 4471.4790 & 7147.0415 & 9122.9678 \\
4358.343 & 4921.9312 & 7383.9805 & 9224.4990 \\
5460.742 & 5015.6797 & 7635.1060 & 9354.2197 \\
         & 5875.6211 & 7723.9844 & 9657.7803 \\
	 & 6678.1509 & 8264.5225 & 9784.5000 \\
	 & 10830.2998 & 8521.4424 &
\end{tabular}
\end{center}
Ces valeurs ont \'et\'es compar\'ees aux valeurs tabul\'ees dans les fichiers 
de calibration de \MIDAS\ et d'{\tt IRAF}, ainsi qu'aux valeurs pr\'edites 
par la th\'eorie quantique, calcul\'ees par R.L. Kurzuc\footnote{
Dans {\tt MIDAS calib} (disponible \`a {\tt ftphost.hq.eso.org/midaspub/calib}) : 
sous {\tt midas/calib/data/spec/line/}.\\ 
Dans {\tt IRAF} (disponible \`a {\tt www.stecf.org/iraf/web/}): 
sous {\tt /iraf/noao/lib/linelists/}.\\
Kurucz Atomic Line Database: 
{\tt cfa-www.harvard.edu/amdata/ampdata/kurucz23/sekur.html}
}.
Des \'ecarts de l'ordre de $0.01\,\angstr$ apparaissent parfois, et peuvent provenir
de raies multiples, m\'elang\'ees, de limites instrumentales ou de conditions 
physiques differentes.
 Les valeurs \MIDAS\ ont \'et\'e utilis\'ees, car s\^urement plus adapt\'ees
\`a l'instrument.
Comme $C_0$ peut varier de $\sim 50\,\angstr$ (de l'UT1 \`a l'UT2), 
et que l'estimation de leur position
est biais\'ee par les raies voisines, ces raies sont s\'electionn\'ees
pour \^etre les raies les plus intenses dans un intervalle de $50\,\angstr$.
Les raies m\'elang\'ees, faibles ou trop proches l'une de l'autre sont 
retir\'ees (c.f. Fig. \ref{img:wave}).

Disposant d'un mod\`ele approxim\'e de dispersion, et des longueurs d'ondes
d'\'emission des ions des lampes, on peut pr\'evoir l'abscisse \Xp\ de 
chaque raie.
Le spectrogramme brut des lampes \`a arc est calibr\'e du pi\'edestal et du
champ plan, et moyenn\'e selon \Yp\ dans 9 bandes.
Les spectres obtenus sont filtr\'es par convolution avec une ondelette 
dite du {\em chapeau Mexicain}, adapt\'ee \`a la d\'etection de profils 
rectangulaires ayant la largueur projet\'ee de la fente ($5\,pixel/''$).
Le maximum local le plus proche de la position attendue de chaque raie
est ajust\'e par une parabole pour calculer la position exacte de la raie
(c.f. Fig. \ref{fig:arcid}).

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{graphs/ArcHe_ID.png}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it Illustration de la technique de d\'etection et de mesure de la
position des raies d'\'emission.
L'ondelette s'\'etend sur 4 fois la largeur suppos\'ee $L = 5\ pix$ 
des raies, et est normalis\'ee pour que sa convolution avec un rectangle 
unitaire de largeur $L$ vaille 1 au maximum. 
Son int\'egrale est nulle par construction.
Le doublet du mercure \`a $5770\ \textrm{et} 5791\,\angstr$ est r\'esolu, mais le filtrage
m\`ene \`a sous-estimer $\lambda_{rouge}$ et \`a sur-estimer $\lambda_{bleu}$. 
}
\label{fig:arcid}
}
\end{center}
\end{figure}


\paragraph{ R\'esolution des \'equations de dispersion par les moindres carr\'es :\\}

A pr\'esent, on conna\^it l'abscisse $\Xp_i$ d'une dizaine de raies, pour 9
ordonn\'ees $\Yp_j$ diff\'erentes.
Les coefficients polyonmiaux reproduisant au mieux ces positions
sont calcul\'es par la m\'ethode des moindres carr\'es (minimisation du \ki) : 
On assigne \`a chaque raie $\lambda_i$ un poids $w_i$ arbitraire d'autant plus 
grand que la raie est intense et isol\'ee.
Les ordres $(k,l)$ de la loi polynomiale de dispersion $P(x,y)$ sont d\'efinis, 
et l'on cherche \`a d\'eterminer la valeur des coefficients polynomiaux $C_{k,l}$
\`a partir des 126 mesures ind\'ependantes $x_{i,j}$, et connaissant les 
14 $\lambda_i$ et les 9 $\Yp_j$ choisis comme r\'ef\'erences.
Ce probl\`eme est lin\'eaire en fonction des coefficients, et la minimisation
du \ki\ \'equivaut \`a une inversion de matrice :
\[\mbox{ soit}\quad \lambda(\Xp, \Yp) = P(x,y) = \sum_{k,l} C_{k,l}x^k y^l \quad 
\mbox{ le mod\`ele de dispersion,}\]
\[\mbox{ et}\quad \chi^2 = \sum_{i,j} w_i (\lambda_i - P(x_{i,j},y_j))^2 \quad
\mbox{ le r\'esidu des mesures au mod\`ele.}\]
Pour chaque coefficient $C_{k,l}$, le \ki\ est minimal lorsque sa d\'eriv\'ee
seconde par rapport \`a $C_{k,l}$ s'annulle :
\[ \begin{array}{rcl}
\forall\ C_{k,l} & : & \frac{\delta \chi^2}{\delta C_{k,l}}=0 \\
\Leftrightarrow \forall\ C_{k,l}  & : &  \sum_{i,j} w_i x_{i,j}^k y_j^l 
(\lambda_i - P(x_{i,j},y_j)) = 0\\
\Leftrightarrow \forall\ C_{k,l}  & : & \sum_{k',l'} \left[ C_{k',l'}
\sum_{i,j} w_i x_{i,j}^{k+k'} y_j^{l+l'} \right] = 
\sum_{i,j} w_i x_{i,j}^k y_j^l \lambda_i 
\end{array} \]

Ce qui s'\'ecrit sous forme de produit matriciel, dans le cas o\`u $C_{1,2}$ 
est le dernier coefficient polynomial :
\[ \hspace{-1.5cm} \left[ \begin{array}{ccccc}
\sum_{i,j} w_i & \cdots & \sum_{i,j} w_i x_{i,j}^k y_j^l & \cdots & 
\sum_{i,j} w_i x_{i,j} y_j^2 \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
\sum_{i,j} w_i x_{i,j}^k y_j^l & \cdots & \sum_{i,j} w_i x_{i,j}^{2k} y_j^{2l} 
& \cdots & \sum_{i,j} w_i x_{i,j}^{k+1} y_j^{l+2} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
\sum_{i,j} w_i x_{i,j} y_j^2 & \cdots & \sum_{i,j} w_i x_{i,j}^{k+1} y_j^{l+2} & 
\cdots & \sum_{i,j} w_i x_{i,j}^2 y_j^4 \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c} C_{0,0} \\ \vdots \\ C_{k,l} \\ \vdots \\ C_{1,2} 
\end{array} \right] = 
\left[ \begin{array}{c} \sum_{i,j} w_i \lambda_i \\ \vdots \\
 \sum_{i,j} w_i x_{i,j}^k y_j^l \lambda_i \\ \vdots \\ 
 \sum_{i,j} w_i x_{i,j} y_j^2 \lambda_i \end{array} \right] \]
\[ \Leftrightarrow \bf{ A \times X = B } \]
\[ \Rightarrow \bf{ X = B \times A^{-1}} \]
Ainsi, le calcul de $\bf{A}$, de son inverse $\bf{A^{-1}}$ et de $\bf{B}$
permettent de calculer la matrice colonne $\bf{X}$ des coefficients polynomiaux.
Le probl\`eme est bien pos\'e tant que l'on dispose de plus de mesures
que d'inconnues. $\bf{A}$ est alors d\'efinie positive, et inversible.
Avec \begin{scriptsize}$(k,l) \in \begin{array}[c]{|c|c|} 
\begin{array}{c} 0,0\\ 1,0\\ 2,0\\3,0 \end{array} &
\begin{array}{c} 0,1\\0,2 \\ \hline 1,1\\ 1,2 \end{array}
\end{array} $\end{scriptsize}, soit 8 inconnues, on est assur\'e d'obtenir une 
solution.

La r\'esolution en $\bf{X}$ de $\bf{ A \times X = B }$ est impl\'ement\'ee dans la 
librairie {\tt lapack}\footnote{Linear Algrebra PACKage : 
{\tt www.netlib.org/lapack/}} ({\tt cholesky\_solve(A,B)}), 
mettant en {\oe}uvre la m\'ethode d'inversion de matrices sym\'etriques, 
d\'efinies positives, invent\'ee par Andr\'e-Louis Cholesky (1875-1918), 
pr\'ecis\'ement pour r\'esoudre des probl\`emes de minimisation de \ki\ 
en topographie.

Afin de r\'eduire \`a une fraction d'$\angstr$ les r\'esidus \`a la fonction de 
dispersion (c.f. Fig. \ref{fig:fitdisp}), j'ai \'et\'e amen\'e \`a augmenter 
l'ordre $Ox$ du polyn\^ome en \Xp\ \`a 4.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\vspace{-0.0cm}
\mbox{
%\hspace{-1.5cm}
\includegraphics[width=15cm]{graphs/Arc_ResiduXY.png}}
%\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it {\bf En haut :} \'Ecarts entre un mod\`ele de dispersion lin\'eaire :
$\lambda(\Xp,\Yp)=C_0+C_1 \times x$ et les longueurs d'onde des 14 raies 
identifi\'ees, dans 9 r\'egions.
La composante polynomiale r\'esiduelle indiqu\'ee est trac\'ee en gris.
 {\bf En bas :} Idem, mais avec le mod\`ele de dispersion complet \`a 9
param\`etres $\lambda(\Xp,\Yp) = P(x,y)$ ajust\'e par les moindres carr\'es.
Les r\'esidus sont trac\'es en fonction de $\Xp_{i,j}$ \`a gauche, et en fonction
de $\Yp_j$ \`a droite.
}
\label{fig:fitdisp}}
\end{center}
\end{figure}

Le mod\`ele global obtenu en ajustant lin\'eairement ces nouveaux coefficients 
en fonction de la position $\Delta x_{foc}$ de la fente pour le grisme 300V 
devient (c.f. Fig. \ref{fig:offCdisp}) :
\[ \begin{array}[t]{lll|ll|ll} 
  C_0 (\Delta x)    & = 5865.0  & - 24.8\ \Delta x_{foc}\quad  &
   C_{y}   & = 0.0 &  C_{xy}  & = 0.0  \\

  C_{x} (\Delta x)  & = 2712.0  & - 1.1\  \Delta x_{foc}  & 
   C_{y2}  & = 13.3 &  C_{xy2} & = -15.6\\

  C_{x2} (\Delta x) & = 90.0    & + 1.1\  \Delta x_{foc}  & & & & \\
  C_{x3} (\Delta x) & = -54.0   & - 0.6\  \Delta x_{foc}  & & & & \\
  C_{x4} (\Delta x) & = 13.0    & & & & \\
\end{array}
\]

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\vspace{-0.3cm}
\mbox{ 
  \hspace{-5mm}
  \includegraphics[width=15cm]{graphs/dslit_off_Cdisp.png}}
  \vspace{-0.3cm}
  \caption{
  {\it Ajustement lin\'eaire des nouveux coefficients de dispersion,
  en fonction de la position $\Delta x_{foc}$ de la fente.
  Seules les 88 dispersions en mode longue fente et avec le grisme 300V,
  prises entre Juillet 2003 et Janvier 2005, sont utilis\'ees ici.
  4 positions de la fente y sont pr\'esentes : 
  -24 (2.5''), -12 (1.0''), 12 (0.7'') et 18 (1.3'') $mm$.}
  \label{fig:offCdisp}
}
\end{center}
\end{figure}

On atteint une dispersion r\'esiduelle \`a chaque ajustement d'environ $0.2\,\angstr$,
\'equivalent \`a $\sim 0.1\,pixel$.
Trois sources d'incertitudes y participent :
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item L'impr\'ecision des $\lambda_i$ de r\'ef\'erence,
\item L'impr\'ecision de l'estimation de la position $\Xp_{i,j}$ des raies, 
  combinaison
  \begin{list}{--}{}
    \item de la pixelisation
    \item du moyennage robuste selon \Yp
    \item de l'estimation du centro\"ide par ondelette
  \end{list}
\item Les ordres sup\'erieurs de la fonction de dispersion r\'eelle.
\end{list}

La pr\'ecision de la calibration en $\lambda$ sera suppos\'ee \'egale \`a 
$0.2\,\angstr$, ce qui est largement suffisant pour obtenir un \z\ pr\'ecis
\`a mieux que $10^{-4} \times (1+z)$ dans notre gamme de \lda\ 
(de $4000\,\angstr$ \`a $9000\,\angstr$).
La flexion et la torsion pr\'esentes au cours des acquisitions de science seront
corrig\'ees ({\em via} $C_0$ et $C_y$) en identifiant l'\'emission de $OI$ 
ionosph\'erique \`a $558 nm$. 

Arnach\'e de tout les attributs de calibration que l'on puisse obtenir sans ouvrir
le d\^ome, l'heure est venue du bapt\^eme du feu : l'observation d'une \'etoile
de r\'ef\'erence.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% RESP %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{La fonction de r\'eponse instrumentale :}
\label{sec:response}
Il ne reste plus en effet qu'\`a estimer la fonction de r\'eponse 
instrumentale pour pouvoir calibrer enti\`erement les spectrogrammes.
Rappelons que la factorisation de la sensibilit\'e des pixels en champ plan
$f(\Xp, \Yp)$ et r\'eponse instrumentale $\mathcal{R}(\lambda)$ rend ces deux
mod\`eles de calibration inter-d\'ependants.

Si l'on connaissait le spectre exact $\mathcal{L}(\lambda)$ des lampes \`a 
incandescence, on pourrait d\'eduire $\mathcal{R}(\lambda)$ du spectre moyen 
$L_{moy}(\lambda)$ utilis\'e pour normaliser le champ plan :
\[ \mathcal{R}(\lambda) = \frac{L_{moy}(\lambda)}{\mathcal{L}(\lambda)} \]
La factorisation serait alors parfaite : les \'eventuelles colonnes sombres
du d\'etecteur {\em lav\'ees} par la normalisation appara\^itraient dans
la r\'eponse intrumentale.
Cependant, la r\'eflectivit\'e des miroirs et la transparence de l'atmosph\`ere 
seraient absentes de la fonction de r\'eponse.

La factorisation serait aussi parfaite si l'on observait une \'etoile standard \`a 
la m\^eme position et avec la m\^eme configuration que les acquisitions de science,
et si aucun filtrage n'\'etait r\'ealis\'e sur le spectre extrait ou sur la
fonction de r\'eponse calcul\'ee.
L'ESO n'observa les \'etoiles standard en mode {\tt LSS} que jusqu'en Janvier 2004 
(14 obs).
Ensuite, seul le mode {\tt MOS}, souvent centr\'e, fut utilis\'e pour les \'etoiles
standard, avec des ouvertures larges de $5''$.

Comme $\mathcal{R}$ ne d\'epend th\'eoriquement que de \lda\ (les autres 
d\'ependances patiales doivent \^etre dans le champ plan), on peut le calculer, 
pour un couple grisme+filtre donn\'e, \`a n'importe quelle position de la fente.
La calibration en \lda\ permet de passer de l'espace des pixels \`a celui des \lda,
d'abord lors du calcul de $\mathcal{R}(\lambda)$, puis avant la division par 
$\mathcal{R}(\lambda)$ calibrant en flux les spectres de science.

Ceci n'est valable que tant que la couverture spectrale du spectrogramme de 
l'\'etoile standard contient celle des acquisitions de science. 
Si les observations de science sont r\'ealis\'ees avec la fente 1.0'', alors que 
l'\'etoile standard est observ\'ee avec une fente centr\'ee, l'intervalle 
$[8600,8900]\,\angstr$ sera sur les spectrogrammes de science mais pas sur celui de 
la standard.


\paragraph{ L'{\oe}il de \MIDAS :\\}

Pour introduire les facteurs influants sur la fonction de r\'eponse, 
auxquels j'ai \'et\'e confront\'e durant cette ultime \'etape de calibration, 
je vais pr\'esenter ici la m\'ethode suivie et les fonctions de r\'eponse
produites par \MIDAS.

Les spectrogrammes d'\'etoile standard sont calibr\'es du CCD et en \lda, 
la trace de l'\'etoile est calcul\'ee, et le flux en chaque colonne, 
en chaque \lda, est estim\'e par un ajustement de PSF 
({\em point spread function} : fonction d'\'etalement du point).
L'extinction atmosph\'erique est corrig\'ee en utilisant la masse d'air 
enregistr\'ee dans l'en-t\^ete et un mod\`ele d'extinction (celui du voisin
Cerro Tololo Inter-American Observatory, CTIO).

Le spectre obtenu est compar\'e aux spectres de r\'ef\'erence disponibles, 
leurs coordonn\'ees aussi, et l'\'etoile est ainsi identifi\'ee.
Les transmissions, la r\'eflectivit\'e et l'efficacit\'e quantique composant la
fonction de r\'eponse sont {\em lisses}, donc cette derni\`ere le sera aussi.
Pour s'affranchir du bruit de photon et autres incertitudes, le spectre est
int\'egr\'e dans des intervalles de $50\,\angstr$, et le spectre de r\'ef\'erence aussi.
Les bandes d'absorption tellurique et les raies d'absorption photosph\'eriques 
notables ($O_2$ et $H_2O$ pour l'atmosph\`ere terrestre, $HI$ pour celle des 
\'etoiles) sont exclues.
Le rapport de ces flux int\'egr\'es fournit une centaine de points \'egaux
\`a l'int\'egrale de $\mathcal{R}(\lambda)$ dans l'intervalle de \lda\ consid\'er\'e.

La fonction de r\'eponse finale est calcul\'ee comme \'etant une fonction de 
{\em spline} s'ajustant aux points int\'egr\'es.
Le r\'esultat est incontestablement lisse, mais pr\'esente parfois un comportement 
aberrant aux bords (c.f. Fig. \ref{fig:piperesp}).
En particulier, la coupure brutale dans le bleu ne peut l'\^etre autant dans 
l'espace des {\em spline}.
Le second ordre de diffraction et l'absence de contrainte laiss\'ee par le 
masquage des raies telluriques de $H_2O$ dans le rouge laissent parfois le 
{\em spline} remonter.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\vspace{-0.0cm}
\mbox{% \hspace{-1.5cm}
\includegraphics[width=10cm]{graphs/Pipe_Resps_UT1.png}}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it Superposition des 35 fonctions de r\'eponse de FORS1 sur l'UT1
produites par \MIDAS.
Les r\'eponses pour une m\^eme configuration (mode,grisme,filtre,fente) sont
trac\'ees d'une m\^eme couleur. La legende r\'esume le mode, le grisme et
la longue fente utilis\'ee ou reproduite ({\em ctr} correspond au centre, 
ou \`a la fente 0.28'').}
\label{fig:piperesp}}
\end{center}
\end{figure}

Si l'on consid\`ere l'ensemble des fonctions de r\'eponse produites par \MIDAS\ 
pour FORS1 mont\'e sur l'UT1, on constate que le niveau de r\'eponse global peut 
varier du simple au double (de 2.5 \`a 5.5 $ADU/10^{16}erg/\angstr$).
La pente autour de $6000\,\angstr$ change aussi significativement.
La transparence de l'atmosph\`ere, r\'eduite par des cirrus d'altitude, est le 
seul facteur pouvant expliquer de tels \'ecarts.
Les r\'eponses obtenues en mode {\tt MOS}, avec une fente large de 5'', sont 
l\'eg\`erement plus {\em bleues} que celle en mode {\tt LSS}. En effet, 
la qualit\'e d'image est moins bonne dans le bleu que dans le rouge, et les fines 
fentes {\tt LSS} coupent donc un peu plus de flux dans le bleu que dans le rouge.

Deux fonctions de r\'eponse, prises les 28 et 29 Novembre 2003 pr\'esentent une 
excursion suspecte en de\c{c}a de $4000\,\angstr$. Cela provient de l'utilisation 
d'une fonction de dispersion prise avec la fente centr\'ee, alors que le 
spectrogramme de l'\'etoile l'est \`a la position de la fente d'1.0'', 
\`a $-12\,mm$. C'est le genre d'erreurs humaines et de laxisme
logiciel que j'ai cherch\'e \`a abolir par l'automatisation des proc\'edures.

\paragraph{ La Base d'\'etoiles spectrophotom\'etriques :\\}

Le catalogue des spectres d'\'etoiles standard\footnote{disponible \`a
{\tt www.eso.org/observing/standards/spectra/}} est compos\'e de spectres 
d'\'etoiles chaudes et de naines blanches, de diverses provenances 
(CTIO, Oke, HST, mod\`eles synth\'etiques de naines blanches),
de diverses r\'esolutions (de $0.7\,\angstr$ pour HST \`a $50\,\angstr$ pour CTIO) et 
de diverses couvertures en \lda\ (c.f. Fig. \ref{fig:specphot}).
Certains sont corrig\'es de l'absorption tellurique, d'autres non (CTIO).

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\vspace{-0.0cm}
\mbox{\hspace{-5mm}
\includegraphics[width=12cm]{graphs/SpecPhot_Stds.png}}
% \vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it Spectres des \'etoiles de r\'ef\'erence utilis\'ees par l'ESO, en fonction
de leur provenance, en \'echelle logarithmique. On remarque l'homog\'en\'eit\'e 
mais la faible r\'esolution et l'absence de correction de l'absorption tellurique 
des spectres CTIO.
Les spectres HST ont une exellente r\'esolution et peu de bruit au-del\`a de 
$3200\,\angstr$.
Les mod\`eles de naines blanches n'ont aucun bruit, mais sont approximatifs 
(deux d'entre eux ne reproduisent pas les raies de l'Helium pr\'esentes dans le 
spectre r\'eel).
La partie UV des spectres provient du satellite IUE.}
\label{fig:specphot}}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{ 
%\hspace{-1.5cm}
\begin{tabular}{cc}
  \begin{minipage}[b]{5cm}
    \begin{picture}(150,150)
      \put(-5,150){{\it E(n)}}
      \put(100,40){(Lyman)}

      \put(20,0){\vector(0,1){160}} 
      
      \put(20,0){\line(1,0){100}} 
      \put(0,0){n=1} 

      \put(20,83){\line(1,0){100}} 
      \put(30,83){\vector(0,-1){83}} 
      \put(32,40){$\alpha$} 
      \put(0,83){n=2} 

      \put(20,112){\line(1,0){100}} 
      \put(50,112){\vector(0,-1){112}} 
      \put(52,40){$\beta$} 
      \put(0,112){n=3} 

      \put(20,126){\line(1,0){100}} 
      \put(70,126){\vector(0,-1){126}} 
      \put(72,40){$\gamma$} 
      \put(0,126){n=4} 
      
      \put(20,133){\line(1,0){100}} 
      \put(90,133){\vector(0,-1){133}} 
      \put(92,40){$\delta$} 
      \put(0,133){n=5} 

      \put(20,138){\line(1,0){100}} 
      \put(20,141){\line(1,0){100}} 
      \put(20,143){\line(1,0){100}} 
      \put(20,144){\line(1,0){100}} 
      
      \multiput(22,146)(4,0){25}{.} %\line(1,0){100}} 
      \multiput(22,148)(4,0){25}{.} 

      \put(20,150){\line(1,0){100}} 
      
      
    \end{picture}
  \end{minipage}
&
  \begin{minipage}[b]{8cm}

%  D'apr\`es la formule de Rydberg (1888), valable pour les \'electrons de valence solitaires :
%  \[ E(n1 \rightarrow n0 ) = \frac{hc}{\lambda} =
%  \frac{hcR_{\infty}Z^2}{1+m_{e^-}/M}(\frac{1}{n_0^2}-\frac{1}{n_1^2})\]
%  $R_{\infty}$ la constante {\em infinie} de Rydberg 
%  ($R_{\infty}=1.09737 \times 10^7\ m^{-1}$). Pour l'Hydrog\`ene, $Z=1$ et $M=m_{p}$.\\
  La formule de Rydberg (1888) fournit le \lda\ des 
  transitions de l'Hydrog\`ene :
  \( \frac{\Delta E}{hc} = \frac{1}{\lambda}=R_H \left( \frac{1}{n_0^2}-\frac{1}{n_1^2} \right) \)
  avec $R_H=1.09737\times 10^7\ m^{-1}$ la constante de Rydberg.\\


  \begin{tabular}{cc|c||cc|c}
   \multicolumn{3}{c||}{Lyman ($n_0=1$)} & \multicolumn{3}{c}{Balmer ($n_0=2$)} \\
   \hline
   $n_1$ & nom & $\lambda\ (nm)$ & $n_1$ & nom & $\lambda\ (nm)$ \\
   \hline
   2 & $\alpha$ & 121.568 & 3 & $\alpha$ & 656.470 \\
   3 & $\beta$  & 102.573 & 4 & $\beta$  & 486.274 \\
   4 & $\gamma$ & 97.255  & 5 & $\gamma$ & 434.173 \\
   5 & $\delta$ & 94.975  & 6 & $\delta$  & 410.294 \\
   \hline
  \end{tabular}\\
 \end{minipage}
\end{tabular}
}
\caption{
{\it Sh\'ema de la nomenclature des s\'eries de Lyman et de Balmer.
Les raies d'\'emission correspondent au passage de l'\'electron d'un atome 
d'Hydrog\`ene d'un niveau d'\'energie $E(n1 = n_0+k)$ \`a un niveau 
$E(n_0)$. La diff\'erence d'\'energie est rayonn\'ee {\em via} un
photon de longueur d'onde \lda. 
Les raies d'absorption rel\`event du processus inverse. 
La s\'erie de Lyman correspond \`a $n_0=1$, celle de Balmer \`a $n_0$=2.
Une lettre grecque sert de num\'erotation : la premi\`ere raie de Balmer, de 
$n_1=3$ \`a $n_0=2$ sera Balmer-$\alpha$. 
Elle se trouve dans le rouge, les autres raies \'etant 
dans le bleu lointain, est donc facile \`a observer, tr\`es populaire, 
et souvent surnomm\'ee H$\alpha$.
}
\label{tab:balmer}}
\end{center}
\end{figure}

Plut\^ot que d'utiliser une fonction de r\'eponse construite d'apr\`es 
l'observation d'\'etoile standard la plus contemporaine des observations 
de science, j'ai cherch\'e \`a construire une unique fonction de r\'eponse 
d'apr\`es l'ensemble des observations d'\'etoiles standard, pour chaque 
configuration grisme+fitre et pour chaque UT.
En effet, les transmissions des filtres et l'efficacit\'e quantique n'ont pas de 
raison de varier.
Encore une fois, on \'evitera de r\'e\'echantilloner, filtrer, interpoler ou 
extrapoler pour rester au plus proche de la r\'ealit\'e.
Le liss\'e obtenu par \MIDAS\ en int\'egrant puis en interpolant sera obtenu 
par l'accumulation statistique d'observations, et en interpolant dans les 
bandes d'absorption tellurique.

Ces observations contiennent aussi l'information sur le spectre d'absorption 
tellurique, que l'on tentera donc d'estimer parall\`element.
Comme la majorit\'e des observations concernent des \'etoiles CTIO, il faut 
pr\'ealablement corriger leur spectre de l'absorption tellurique si l'on veut 
estimer celle-ci en notre site.

Une premi\`ere tentative r\'ev\'ela que l'\'echelle des \lda\ calibr\'ee et celle 
des spectres de r\'ef\'erence pouvaient \^etres d\'ecal\'ees de quelques $\angstr$.
Ceci n'a un effet important qu'au niveau des raies d'absorption photosph\'eriques, 
o\`u la d\'eriv\'ee seconde du spectre devient tr\`es grande.
Une correction $dC_0$ du terme constant $C_0$ de la fonction de dispersion, 
imput\'e \`a un d\'ecentrage de l'\'etoile standard dans la fente,
%'indice de r\'efraction $dn$ sur les spectres de r\'ef\'erence 
se chargera de r\'ealigner ces raies. % : $\lambda'=\lambda/n=\lambda/(1+dn)$.
Il faut n\'eanmoins conna\^itre auparavant la position, la profondeur et la 
largeur pr\'ecise des raies de chaque spectre, pour savoir o\`u chercher les 
r\'esidus et d\'eduire de leur amplitude le d\'ecalage local.

\paragraph{ Caract\'erisation et correction des spectres de r\'ef\'erence :\\}

Les raies d'absorption photosph\'eriques, reflets de la composition chimique de la 
``surface lumineuse'' de l'\'etoile, ont un profil proche d'une fonction 
Lorentzienne\footnote{
fonction Lorentzienne centr\'ee de largeur \`a mi-hauteur $\Gamma$:
$L_{\Gamma}(x) = \frac{\Gamma}{2\pi}\frac{1}{(\Gamma/2)^2 + x^2}$},
reflet de l'agitation thermique Maxwellienne.
En \'echelle logarithmique, le continuum dans lequel s'incrustent les raies 
d'absorption s'ajuste bien par un polyn\^ome de degr\'e 2 au-del\`a de $4500\,\angstr$ 
(de la congestion des raies de Balmer de l'Hydrog\`ene, de 3700 \`a $4000\,\angstr$), 
et la forme lorentzienne des raies est conserv\'ee.
L'ajustement polynomial est {\em robustifi\'e}, rejetant les raies et autres 
absorptions, et sert de mod\`ele pour corriger les spectres CTIO de l'absorption 
tellurique. 
Les spectres bruit\'es de Oke seront aussi remplac\'es par cet ajustement, 
au-del\`a de $6700\,\angstr$ (c.f. Fig. \ref{fig:stdcorr}-c).

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-0.5cm}
\begin{tabular}[b]{cc}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/StdCaract_ltt4816.png} &
\includegraphics[width=7cm]{graphs/StdCaract_gd71.png}\\
\includegraphics[width=7cm]{graphs/StdCorr_ltt4816.png} &
\includegraphics[width=7cm]{graphs/AtmoExt_Models.png}
\end{tabular}
}
%\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it 
{\bf En haut :} Identification et caract\'erisation des raies
d'absorption photosph\'eriques de l'Hydrog\`ene de l'\'etoile standard LTT4816 
(CTIO) {\bf(\`a gauche)}. Idem pour le mod\`ele synth\'etique de la naine blanche
GD 71 {\bf(\`a droite)}.
{\bf En bas :} Mod\'elisation du continuum de LTT 4816 au-del\`a de $6700\,\angstr$, 
corrigeant les bandes d'absorption telluriques de $O_2$ et de $H_2O$ 
{\bf(\`a gauche)}.
 Mod\`eles d'extinction atmosph\'erique au Chili (Tololo, La Silla) et
\`a Hawaii (Gemini N). Le mod\`ele {\em ad-hoc} utilis\'e, et les lois  
semi-empiriques de diffusion de Rayleigh ($E(\lambda) \propto \lambda^{-4}$), 
d'absorption de l'Ozone et des A\'erosols (c.f. \cite{hayes}\cite{bessel}) 
{\bf(\`a droite)}.
}
\label{fig:stdcorr}
}
\end{center}
\end{figure}

Ce continuum est soustrait du spectre logarithmique, ne laissant que les 
{\em bosses} du spectre (c.f. Fig. \ref{fig:stdcorr}-a).
En effet, l'ondelette n'est th\'eoriquement pas sensible au piston 
(son int\'egrale est nulle), ni \`a la pente (elle est sym\'etrique), 
mais les impr\'ecisions num\'eriques et d'\'echantillonnage contrarient ces
propri\'et\'es.
La position des raies peut donc \^etre l\'eg\`erement biais\'ee en pr\'esence 
d'un continuum inclin\'e, et l'est d\'efinitivement par un continuum courbe.\\
Ce spectre {\em plat} est iterativement filtr\'e par convolution avec une ondelette
adapt\'ee \`a la d\'etection de profils de Lorentz $L_{\Gamma_0}(\lambda)$ de 
largeur $\Gamma_0$ : 
c'est la d\'eriv\'ee seconde de $L_{\Gamma_0}(\lambda)$, dont le produit avec 
$L_{\Gamma_0}(\lambda)$ est normalis\'e \`a 1. 
L'\`a priori $\Gamma_0$ est choisi autour de $30\,\angstr$, et peut \^etre modifi\'e 
selon les cas.
On estime ainsi la magnitude $A$ des raies et leur position $\lambda_0$ 
en cherchant les minimas du spectre plat filtr\'e $\mathcal{S}_f$ 
autour de la position $\lambda_0$ attendue des raies de Balmer de $HI$ 
(d'apr\`es Kurucz).
La position $\lambda_0$ et la largeur $\Gamma_0$ sont corrig\'ees respectivement 
en calculant la valeur en $\lambda_0$ de la convolution du r\'esidu 
$\mathcal{S}_f(\lambda) - A \times L_{\Gamma_0}(\lambda-\lambda_0)$ 
avec la d\'eriv\'ee de $L_{\Gamma_0}(\lambda)$ selon $\lambda$ et selon $\Gamma$,
normalis\'ees pour que leur auto-corr\'elation vaille 1 en z\'ero 
(i.e. que leur carr\'e soit unitaire : 
\( \int{\frac{\delta L}{\delta\Gamma}^2}d\lambda=1 \) ).

On dispose alors de nouveaux \`a prioris $\lambda_1$ et $\Gamma_1$,
et l'on it\`ere jusqu'\`a ce que le crit\`ere de convergence $\epsilon$
(i.e. $\frac{\lambda_i-\lambda_{i-1}}{\lambda_{i-1}} < \epsilon\ \sim 10^{-3}$) 
soit atteint, ou que $\Gamma_i$ devienne n\'egatif, que $A$ devienne positif, 
que l'on sorte de l'intervalle de \lda, 
ou que l'on ait it\'er\'e plus de 20 fois (la solution oscille car mal contrainte).
Dans les cas favorables, la convergence est atteinte en moins de 3 it\'erations.

Lorsque le spectre est peu r\'esolu, la pr\'ecision obtenue n'est pas fameuse. 
Lorsque les raies sont larges et proches, elles influent mutuellement sur leurs
estim\'ees.
Mais, \`a quelques cas pathologiques pr\`es, trait\'es au cas par cas, les 
ajustements obtenus sont satisfaisants pour les raies encore s\'epar\'ees
au-del\`a de $4000\,\angstr$.

Il nous faut aussi disposer d'un mod\`ele d'extinction atmosph\'erique, tenant 
compte de la diffusion de Rayleigh sur les atomes et mol\'ecules plus petites 
que \lda, de l'absorption stable de l'ozone stratosph\'erique et des a\'erosols.
Divers mod\`eles existent, pour diff\'erents observatoires, et l'on utilisera un 
mod\`ele {\em ad-hoc} proche de celui CTIO, raffin\'e artisanalement pour que son 
interpolation polynomiale soit lisse (c.f. Fig. \ref{fig:stdcorr}-d).

\paragraph{ Extraction du spectre observ\'e :\\ }

Enfin pr\^et \`a utiliser le spectrogramme, on applique \`a celui-ci la m\^eme
proc\'edure de calibration que celle qui servira aux spectrogrammes de science :
soustraction du pi\'edestal et division par le champ plan, estimation 
du fond de ciel et d\'etection des sources.
Le spectrogramme est recentr\'e sur l'objet et r\'eduit 
\`a la r\'egion contenant le signal ($\lambda > 4150\,\angstr$) 
(c.f. Fig. \ref{img:stdred}).
Les images de science sont en plus combin\'ees, mais, dans le cas des \'etoiles 
standard, on ne dispose que d'une observation et cette \'etape est caduque.
Les rares impacts de cosmiques sont d\'etect\'es et retir\'es. 
Les profils int\'egr\'es dans les filtres g', r' et i' du CFHT sont calcul\'es, 
et les points sources y sont d\'etect\'es par un filtrage par une ondelette 
gaussienne adapt\'ee au {\em seeing} attendu.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.5cm}
\begin{tabular}[b]{c}
\includegraphics[width=14cm]{images/stdGD71_raw.png} \\
\includegraphics[width=14cm]{images/stdGD71_master.png} \\
  \begin{tabular}[b]{cc}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/stdGD71_extract.png}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/stdGD71_extrprofs.png}
  \end{tabular}
\end{tabular}
}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it 
{\bf En haut :} Spectrogramme {\tt MOS} brut de l'\'etoile standard GD71.
{\bf Au centre :} Spectrogramme calibr\'e du CCD, soustrait du ciel et vign\'et\'e.
Les couleurs des images sont en echelle logarithmique.
{\bf En bas \`a gauche :} R\'esultat de diverses techniques d'extraction, et 
spectre du ciel estim\'e.
L'extraction d'ouverture est bruit\'ee. 
L'extraction par maximum parabolique est biais\'ee.
L'extraction par ondelette gaussienne et par ajustement de PSF gaussienne sont
d\'ependantes du mod\`ele de $\sigma(\lambda)$.
L'extraction par la m\'ethode des moments est la moins bruit\'ee et ne d\'epend
d'aucun mod\`ele.
On observe l'apparition du second ordre de diffraction au-del\`a de $8200\,\angstr$.
{\bf En bas \`a droite :} Profils spatiaux int\'egr\'es dans les filtres CFHT. 
On observe le leger d\'eplacement du centro\"ide du bleu (g') au rouge (i').
}
\label{img:stdred}
}
\end{center}
\end{figure}


De ce spectrogramme interm\'ediaire calibr\'e du CCD, on extrait le spectre 
du point source principal dans une bande d'extraction large de $\pm 5 \sigma$,
o\`u $\sigma$ est estim\'e sur le profil int\'egr\'e sur toute la largeur de 
l'image.
Trois m\'ethodes d'extraction {\em en aveugle} sont impl\'ement\'ees : 
maximum parabolique, ondelette gaussienne et m\'ethode des moments.
La m\'ethode des moments fournit l'estimation du flux la moins bruit\'ee, ainsi 
que les estim\'ees du centro\"ide selon \Yp\ et de l'\'etalement $\sigma$.\\
Une extraction de PSF gaussienne par minimisation de \ki\ identique \`a celle 
qui sera utilis\'ee pour les spectrogrammes de science combin\'es est aussi 
effectu\'ee : le centro\"ide et l'\'etalement des profils par filtre contraignent
l'inclinaison et le $\sigma(\lambda)$ du model.\\
Une extraction d'ouverture pond\'er\'ee par ce profil gaussien (similaire \`a une
extraction de Horne) est aussi r\'ealis\'ee pour comparaison.\\
Le spectre extrait par la m\'ethode des moments est corrig\'e de l'extinction
et normalis\'e par le temps d'exposition et par l'intervalle de \lda\ de chaque
pixel.\\
Le spectre de r\'ef\'erence et le spectre extrait normalis\'e (en $ADU/s/\angstr$) 
sont r\'e\'echantillonn\'es \`a un m\^eme pas (irr\'egulier, le plus large des deux
pour int\'egrer au lieu d'interpoler).\\
L'\'echelle de \lda\ du spectre de r\'ef\'erence est alors corrig\'ee pour que les 
raies photosph\'eriques soient align\'ees avec celles du spectre extrait 
(c.f. Fig. \ref{fig:respcorr}).\\
On soustrait la participation du second ordre au-del\`a de $8300\,\angstr$, estim\'ee
d'apr\`es le spectre extrait.
La fonction de r\'eponse est alors calcul\'ee, et l'absorption
atmosph\'erique dans les bandes de $O_2$ et de $H_2O$ en est d\'eduite.
Pour cela, la fonction de r\'eponse est interpol\'ee par un polyn\^ome de degr\'e 2
dans les bandes d'absorption d\'efinies.\\
Enfin, le c{\oe}ur des raies photosph\'eriques, et les points d\'eviants de la 
fonction de r\'eponse sont filtr\'es par interpolation parabolique, les pertes de 
fente sont estim\'ees et la r\'eponse en est corrig\'ee.
L'estimation des pertes de fente fait l'hypoth\`ese que le point source est 
centr\'e dans la fente, et que son \'etalement selon \Xp\ est le m\^eme que 
selon \Yp\ (qui est estim\'e en chaque \Xp, puis ajust\'e par un polyn\^ome 
de degr\'e 3 ; c.f. Figure \ref{fig:tracefit}).
C'est une estimation optimiste, ignorant le d\'ecentrage et le chromatisme r\'esiduel
de la r\'efraction atmosph\'erique.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\mbox{ 
%\hspace{-1.5cm}
\begin{tabular}[b]{cc}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/Std_Refract.png} &
\begin{minipage}[b]{6cm}\caption{
{\it Illustration de la correction de la fonction de dispersion
%'indice de r\'efraction 
permettant d'aligner les raies photosph\'eriques du spectre extrait 
et du spectre de r\'ef\'erence.
Le d\'ecalage se traduit sur la fonction de r\'eponse par un profil
\`a sym\'etrie centrale (\( \equiv \frac{\delta L}{\delta \lambda}\)).
La diff\'erence de forme du profil de la raie se traduit par un profil
\`a sym\'etrie axiale (\( \equiv \frac{\delta L}{\delta \Gamma}\)), 
souvent pr\'esent et qui n'a pu \^etre corrig\'e proprement 
(par l'effet du {\em seeing} par exemple).
Ici, les raies sont plus piqu\'ees dans le spectre de r\'ef\'erence que 
dans le spectre extrait.
La r\'egion gris\'ee mat\'erialise la r\'egion 
$[\lambda_0-\Gamma_0,\lambda_0+\Gamma_0]$
interpol\'ee pour masquer ce profil sym\'etrique r\'esiduel.
}\label{fig:respcorr}
}\end{minipage}
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{figure}

\paragraph{ Estimation du second ordre de diffraction :\\}

Le second ordre de diffraction, si le grisme est bon, ne doit contenir qu'une 
faible fraction du flux incident.
Cependant, pour les \'etoiles de r\'ef\'erence, parfois tr\`es bleues, cette
fraction $f_{so}$ n'est pas n\'egligeable par rapport au flux dans le rouge, et 
appara\^it inoportun\'ement dans la fonction de r\'eponse.
Afin de quantifier cette fraction, j'ai utilis\'e une observation de la naine 
blanche GD71, tr\`es bleue, pour tester la valeur de $f_{so}$.
Empiriquement, $f_{so}$ est choisie pour obtenir une fonction de r\'eponse la plus
{\em r\'eguli\`ere} possible (c.f. Fig. \ref{fig:secordre}).
Il apparut que le facteur de doublement $d_{so} \sim 2$ attendu entre les \'echelles 
spectrales du premier et du second ordre est en fait l\'eg\`erement plus petit.
Ceci peut \^etre attribu\'e aux aberrations chromatiques de l'\'etage du bas du
collimateur.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.5cm}
\begin{tabular}[b]{cc}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/SecOrder_guess_frac.png} &
\includegraphics[width=7cm]{graphs/SecOrder_guess_fold.png}
\end{tabular}
}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it 
{\bf \`A gauche :} Recherche empirique de la fraction $f_{so}$ du flux dans le 
second ordre. Les fonctions de r\'eponse obtenues pour une fraction suppos\'ee
allant de 1\% \`a 5\% sont trac\'ees. La pente est conserv\'ee pour 
$f_{so} \sim 3\%$, mais une difference de niveau persiste.
{\bf \`A droite :} Recherche empirique du facteur de doublement $d_{so}$, pour
une fraction de 3\%.
Les ondulations disparaissent pour $d_{so} \sim 1.955$. 
}
\label{fig:secordre}
}
\end{center}
\end{figure}

On conservera les valeurs empiriques de $f_{so}=0.03$ et $d_{so}=1.955$ pour
calculer les fonctions de r\'eponse.

\paragraph{ Construction du mod\`ele de r\'eponse global : \\}

On dispose maintenant de nombreuses fonctions de r\'eponses, dont la r\'esolution 
d\'epend de celle du spectre de r\'ef\'erence. 
Le bruit r\'esiduel d\'epend fortement du bruit du spectre de r\'ef\'erence, et de 
sa r\'esolution (c.f. Fig. \ref{fig:offresps}).
Pour v\'erifier la consistence des diverses sources de spectres de r\'ef\'erence, 
ces r\'eponses sont combin\'ees pour un m\^eme couple grisme+filtre, un m\^eme UT,
et une m\^eme origine des r\'ef\'erences.
Les mod\`eles synth\'etiques approximatifs de BPM-16274 et de HD-49798 sont exclus,
comme il est recommand\'e sur le site.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.5cm}
\begin{tabular}[b]{cc}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/newOff_Resps.png} &
\hspace{-0.5cm}\includegraphics[width=7cm]{graphs/newOff_TmplResp.png}
\end{tabular}
}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it 
{\bf \`A gauche :} Ensemble des 54 fonctions de r\'eponse individuelles obtenues
pour FORS1 sur l'UT1. La l\'egende indique le mode d'observation, le grisme et la
fente utilis\'ee ou reproduite.
{\bf \`A droite :} Fonctions de r\'eponse moyenn\'ees par grisme+filtre et par
origine des spectres de r\'ef\'erence, pour l'UT1. Le nombre de r\'eponses 
individuelles moyenn\'ees est indiqu\'e dans la l\'egende. 
Le pas est de $1\,\angstr$.
}
\label{fig:offresps}
}
\end{center}
\end{figure}


Les fonctions de r\'eponse individuelles sont normalis\'ees \`a leur valeur moyenne
\`a $5500\,\angstr$, sur le compte de cirrus {\em blancs}. 
La fonction combin\'ee est estim\'ee avec un pas r\'egulier de $1\,\angstr$ : 
les interpolations paraboliques en chaque \lda\ des fonctions individuelles 
normalis\'ees sont moyenn\'ees.
On n'observe pas de diff\'erence notable en fonction de l'origine des 
r\'ef\'erences, si ce n'est un niveau de bruit d'autant plus important que le 
pas des spectres de r\'ef\'erence est petit et que le nombre d'observations 
est petit (c.f. Fig. \ref{fig:offresps}).

Les spectres d'absorption moyens sont \'egalement combin\'es, et leur \'ecart-type
est calcul\'e, renseignant sur la stabilit\'e de l'absorption atmosph\'erique (c.f.
Fig. \ref{fig:masterresp}-b).

Confort\'e sur la consistance des spectres de r\'ef\'erence, on r\'eit\`ere le 
moyennage, cette fois sur l'origine des r\'ef\'erences.
Pour aplanir les ultimes r\'esidus et effets de bords, un filtre polynomial 
d'ordre 5 large de $100\,\angstr$ est encore appliqu\'e.
On obtient ainsi 4 fonctions de r\'eponse {\em lisses} et les spectres d'absorption
et d'\'ecart-type associ\'es (c.f. Fig. \ref{fig:masterresp}).
Ce distill\'e de r\'ef\'erences nous servira au moment de sceller toutes nos 
fourn\'ees de photons, en pr\'evenant le consommateur que notre {\em absolu} de 
calibration, qui a \'et\'e dict\'e par les \'el\'ements, vaut pour l'ann\'ee mais pas 
forc\'ement pour chaque nuit.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.5cm}
\begin{tabular}[b]{cc}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/newOff_MasterResp.png} &
\hspace{-0.5cm}\includegraphics[width=7cm]{graphs/Off_Atmo.png}
\end{tabular}
}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it 
{\bf \`A gauche :} Mod\`eles finaux de la fonction de r\'eponse, par telescope et 
par grisme.
L'incertitude statistique propag\'ee et l'\'ecart-type des r\'eponses individuelle
autour du mod\`ele, magnifi\'ees, sont trac\'ees pour la r\'eponse sur l'UT2 avec 
le grisme 300V.
Un mod\`ele de r\'eponse issu de \MIDAS\ est trac\'e en pointill\'es 
pour comparaison.
{\bf \`A droite :} Exemple des mod\`ele d'absorption ($<0$) et d'\'ecart-type 
($>0$) obtenus pour l'UT2 en 300V, pour le dioxyg\`ene ($O2$) et la vapeur d'eau 
($H2O$), exprim\'es en magnitudes absorb\'ees.
La vapeur d'eau a un \'ecart-type de m\^eme amplitude que sa moyenne, ce qui 
d\'enote des fluctuation importantes. Le dioxyg\`ene est plus stable. 
}
\label{fig:masterresp}
}
\end{center}
\end{figure}

L'incertitude statistique propag\'ee ainsi que l'\'ecart-type des fonctions de 
r\'eponse individuelles normalis\'ees autour du mod\`ele moyen sont bien s\^ur 
calcul\'es.
En raison du grand nombre d'observations moyenn\'ees, l'incertitude statistique 
est n\'egligeable (m\^eme dans les bandes d'absorption o\`u elle est augment\'ee 
{\em \`a la louche}).
Le spectre de l'\'ecart-type donne une indication de la qualit\'e des corrections
de l'extinction atmosph\'erique et des pertes de fentes : de la stabilit\'e en 
couleur des fonctions de r\'eponse individuelles.
Comme les r\'eponses sont normalis\'ees \`a un m\^eme niveau \`a $5500\pm50\,\angstr$, 
l'\'ecart-type y est minimal ($\sim0.2\,\%$).


\paragraph{}
On aura not\'e la diff\'erence de normalisation entre les r\'eponses calcul\'ees 
par \MIDAS, qui atteignent $\sim 5\,ADU/(10^{16}erg/cm^2/\angstr)$ et nos mod\`eles 
qui atteignent $\sim 2\,ADU/(10^{16}erg/cm^2)$.
Cela provient de la normalisation par l'intervalle de \lda\ couvert par les pixels,
de l'ordre de $2.65\,\angstr$, qui fournit une fonction de r\'eponse en $ADU/(erg/cm^2)$
plut\^ot qu'en $ADU/(erg/cm^2/\angstr)$.
Comme {\tt MIDAS} r\'e\'echantillonne avec un pas constant en \lda\ les 
spectrogrammes pour corriger la distorsion, ce facteur constant est inclu dans
la r\'eponse.
Elle est valide pour des pixels de $2.65\,\angstr$. 


Ce long d\'etour dans l'univers des r\'ef\'erences de calibration nous a permis
de mod\'eliser \`a la fois la r\'eponse de l'instrument et la transparence de
l'atmosph\`ere.
Comme la majorit\'e des observations d'\'etoiles standards sont effectu\'ees en
mode {\tt MOS}, les \'etapes de calibration du CCD, de soustraction du ciel et 
de vignettage ont \'et\'e impl\'ement\'ees de mani\`ere \`a supporter les deux 
modes {\tt LSS} et {\tt MOS}.
Ainsi, ce sont les m\^emes algorithmes qui sont utilis\'es dans les deux cas.
Simplement, le mode {\tt LSS} est trait\'e comme un cas particulier du mode 
{\tt MOS}, o\`u il n'y a qu'une seule ouverture, couvrant tout le champ.
C'est la seule ouverture qui n\'ecessite, et qui permette d'estimer, les coefficients
transversaux $C_{y^2}$ et $C_{xy^2}$.
Les pi\'edestaux y sont indiff\'erents, mais les champ-plans et les spectrogrammes
de lampes \`a arc sont trait\'es similairement en mode {\tt MOS} 
($N<19$ fonctions de dispersion, $N=3$ pour les {\tt STD} $2048\times 400$) 
et en mode {\tt LSS} ($N=1$ fonction de dispersion).
Les 9 bandes utilis\'ees en mode {\tt LSS} sont remplac\'ees par deux bandes 
par ouverture en mode {\tt MOS}.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMBINE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Combiner : le coeur du probl\`eme.}
Revenons \`a pr\'esent \`a des choses plus terre-\`a-terre : comment l'on r\'esume
2 \`a 5 spectrogrammes de science, 2 images et 2 fonctions de calibration \`a
un unique spectrogramme ne contenant plus que le signal des sources astrophysiques.

Le cahier des charges de l'op\'eration demande :
\begin{list}{$\bullet$}{}
  \item de calibrer du CCD,
  \item de soustraire le spectre du ciel (uniforme spatialement),
  \item de vignetter les spectrogrammes \`a la fen\^etre contenant le signal,
  \item de combiner les $N_{acq}$ spectrogrammes de science et
  \item de calculer l'image du bruit propag\'e.
\end{list}

Apr\`es avoir lu la carte listant les fichiers de science et de calibration \`a
utiliser, l'uniformit\'e des configurations est v\'erifi\'ee et le fichier
{\tt FITS} de sortie est initialis\'e.
Le niveau des bords masqu\'es est calcul\'e, et servira \`a normaliser
le mod\`ele de pi\'edestal \`a ce niveau.
Les d\'ecalages {\em th\'eoriques} entre les images sont calcul\'es, en pixels,
d'apr\`es les coordonn\'ees et l'angle polaire r\'ef\'erenc\'es dans les en-t\^etes
des images de science. Ils sont arrondis \`a l'entier le plus proche, pour pouvoir 
superposer les pixels centre \`a centre.

\paragraph{Projection :\\}

Une fois ces pr\'eparatifs termin\'es, on va chercher \`a estimer le spectre
du ciel de chaque image.
Comme on ne sait pas \`a priori o\`u se trouvent les sources, qui doivent \^etre
exclues de l'estimation du ciel, une premi\`ere estimation est faite dans 16 bandes 
horizontales : pour chaque colonne d'une bande, les pixels sont corrig\'es du 
pi\'edestal normalis\'e et du champ-plan. L'algorithme de moyenne robuste, avec 
une exclusion haute \`a $5\sigma$,
fournit l'estim\'ee du niveau du ciel dans cette bande, mais surtout
la trace des pixels ayant \'et\'e rejet\'es (valant 0 ou 1).
On additionne ces traces de r\'ejection pour toutes les colonnes pour obtenir la 
trace de r\'ejection selon \Yp\ de chaque image.\\
Tenant compte des d\'ecalages entre images, et avec une fraction minimale de 
r\'ejection sur une ligne enti\`ere donn\'ee (de 5\% pour les images de science, 
de 20 \% pour les \'etoiles standard), on masque les lignes soup\c{c}onn\'ees de 
contenir plus que du ciel. 
La position $Y_s$ de la source principale est calcul\'ee, pour peu qu'il y en ait 
une (sinon, le centre de l'image est utilis\'e, c.f. Fig. \ref{fig:skymodel}).\\
La raie de $[OI]$ ionosph\'erique \`a $5577.34\,\angstr$ est identifi\'ee sur les spectres
de chaque r\'egion, et sert \`a corriger la flexion et la torsion de l'instrument 
{\em via} $C_0$ et $C_y$.\\
Ceci fait, on red\'efinit les bandes dans une fen\^etre de $400\,pixels$ autour 
de $Y_s$, en \'evitant les sources masqu\'ees, pour chaque image.
Si une seule source est d\'etect\'ee (plusieures lignes contigu\"es masqu\'ees), on
obtient deux bandes de $200\,pixels$ (moins la demi-largeur de la source plus 5 
pixels de marge).\\
Le spectre du ciel est alors r\'eestim\'e dans ces bandes adjacentes \`a la source,
transpos\'e dans l'espace spectral et interpol\'e cubiquement puis moyenn\'e 
en sur\'echantillonnant \`a $0.2\,\angstr$, et en pond\'erant par la taille de la bande
(c.f. Fig. \ref{fig:skymodel}).

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{ 
%\hspace{-1.5cm}
\begin{tabular}[b]{cc}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/Reject_Trace.png} &
\includegraphics[width=7cm]{graphs/Sky_Interpol.png}
\end{tabular}}
\caption{
{\it {\bf \`A gauche :} Exemple de traces de r\'ejection, dans le cas d'une
cible trop faible pour \^etre d\'ecel\'e \`a $5 \sigma$ (04D4it). 
Une \'etoile de champ voisine (\`a $\Yp=590$ sur la premi\`ere image)
serait en revanche d\'ecel\'ee \`a 10\% par l'algorithme, si elle se trouvait 
dans la fen\^etre de sortie.
{\bf \`A droite :} Illustration sur la raie de $[OI]$ de l'interpolation cubique 
du spectre du ciel estim\'e dans deux r\'egions. Le mod\`ele est la moyenne 
des polyn\^omes de degr\'e 3 passant par les 4 points autour des \lda\ 
d'\'echantillonnage.
Ici, les bandes, sym\'etriques par rapport \`a $Y_s \sim Y_0$, n'ont pas de 
d\'ecalage en \lda. 
}\label{fig:skymodel}
}
\end{center}
\end{figure}


\paragraph{Combinazione (in italiano) :\\}

Il est simple maintenant de combiner les images de science : 
On d\'efinit la fen\^etre d'int\'er\^et pour qu'elle couvre l'intervalle de \lda\ 
du filtre utilis\'e, et qu'elle soit large de $2N_{y}=200\,pixels$ autour de la 
source principale.
Pour chaque pixel de la fen\^etre de sortie, les $N_{acq}$ pixels correspondant 
des $N_{acq}$ images de science sont calibr\'es par leur pi\'edestal et champ-plan 
respectifs, les valeurs du mod\`ele moyen de ciel en $\lambda(\Xp,\Yp)$ en sont 
soustraites, leurs incertidudes sont calcul\'ees, et l'algorithme de moyenne 
robuste \`a $\pm5\sigma$ leur est appliqu\'e.
On obtient ainsi la valeur moyenne en ce pixel de sortie, ainsi que son incertitude
propag\'ee (c.f. Fig. \ref{img:skyred}, pour une \sne\ parmi les plus lointaine,
tr\`es faible).

On s'abstient \`a ce stade d'appliquer la fonction de r\'eponse, qui le sera sur 
les spectres extraits, mais elle est copi\'ee dans une table en extension pour 
\^etre disponible par la suite.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-2.0cm}
\begin{tabular}[b]{c}
  {\bf SN-04D4it, 5$\times$750 sec., 300V, 1.0''. Le 20/09/2004 
  (MMJD=629.082 jours).}\\
   \includegraphics[width=14cm]{images/sky/04D4it_raw4.png}  \\
   \includegraphics[width=14cm]{images/sky/04D4it_comb5.png} \\
   \includegraphics[width=14cm]{images/sky/04D4it_noise.png} \\
  \begin{tabular}[b]{cc}
   \includegraphics[width=7cm]{graphs/Sky_Model.png} &
   \includegraphics[width=7cm]{graphs/Comb_Histo.png} \\
   \includegraphics[width=7cm]{graphs/Reject_Map.png} &
   \includegraphics[width=7cm]{graphs/Cosmic_Histo.png} \\
  \end{tabular}
\end{tabular}
}
\vspace{-0.5cm}
\caption{
{\it 
{\bf Images : }
{\bf (haut) : } Centre du quatri\`eme des 5 spectrogrammes bruts de SN-04D4it 
(possible SN-I \`a $z \sim 1$, $M_{r'} \sim 24$, autour du maximum).
{\bf (centre) : } Spectrogramme combin\'e et soustrait du ciel.
{\bf (bas) : } Image du bruit propag\'e, contenant le bruit de lecture et 
le bruit du ciel, affect\'es par le champ plan.
{\bf Graphiques : }
{\bf (a) : } Mod\`ele du spectre du ciel de la premi\`ere acquisition en echelle 
{\rm log}.
{\bf (b) : } Histogramme {\rm log} du spectrogramme combin\'e, et ajustement 
gaussien.
{\bf (c) : } Carte des 1473 (0.8 $\%_0$) impacts de cosmiques trouv\'es {\rm (+)} et des 5 
r\'esidus filtr\'es {\rm ($\circ$)}.
{\bf (d) : } Histogramme de puissance {\rm log-log} des rayons cosmiques trouv\'es.
}
\label{img:skyred}
}
\end{center}
\end{figure}

Le filtrage temporel fonctionne tant qu'il y a moins de pixels impact\'es que 
non-impact\'es. 
Il arrive parfois que 3 images sur 5 soient impact\'ees aux m\^emes coordonn\'ees, 
auxquel cas ce sont les pixels justes qui sont rejet\'es.
On d\'etecte ces rares pixels malchanceux par leur excursion au dessus du niveau 
moyen p\'eriph\'erique, au moyen d'ondelettes bidimensionnelles. Ils prennent la 
valeur du contour, et leur bruit se voit augment\'e de leur excursion.

Les en-t\^etes aussi sont propag\'es (en partie, et en simplifiant le nom des 
clefs), actualis\'es si n\'ecessaire, et compl\'et\'es avec les param\`etres 
utilis\'es.
La premi\`ere image sert de r\'ef\'erence de coordon\'ees et de fonction
de dispersion au produit combin\'e.
Les \'etapes les plus lentes sont l'estimation du ciel sur toute l'image, 
puis dans les bandes contigu\"es, puis le moyennage des images.
L'impl\'ementation fait un compromis entre la taille des vecteurs interm\'ediaires 
remplis et le nombre d'acc\`es requis aux fichiers.
Les param\`etres fournis ici sont les valeurs par d\'efaut, mais ils sont 
modifiables optionnellement par la ligne de commande.
Ainsi, si l'on veut combiner les images enti\`eres, il suffit de pr\'eciser 
$N_{y}=1000$ dans la ligne de commande ({\tt -y 1000}).

Les coordonn\'ees et le flux des pixels rejet\'es lors du moyennage sont 
conserv\'es dans une table en extension, de m\^eme que pour ceux filtr\'es 
ensuite sur l'image combin\'ee.

\paragraph{Pond\'eration :\\}

La qualit\'e d'image --le piqu\'e-- de chaque acquisition d\'epend du {\em seeing} 
sur la ligne de vis\'ee au cours de l'acquisition.
Cens\'ement, on aimerait donner plus de poids aux images les plus piqu\'ees.
Les observatoires disposent souvent d'un DIMM, qui mesure la stabilit\'e 
atmosph\'erique en observant le mouvement relatif des images d'une \'etoile 
brillante \`a travers deux pupilles
proches\footnote{voir le site des conditions m\'et\'eorologiques de Paranal :\endgraf
{\tt http://archive.eso.org/asm/ambient-server?site=paranal}.\endgraf
Voir \cite{mass} pour une \'etude statistique des couches turbulences au dessus 
du Cerro Tololo.}.
Le {\it seeing} qui en est d\'eriv\'e au d\'ebut et \`a la fin de chaque pose est 
enregistr\'e dans l'en-t\^ete de l'image, si le DIMM fonctionne (sinon il vaut -1).

On peut utiliser leur moyenne pour pond\'erer les images, mais cela suppose que le 
{\em seeing} varie lentement au cours des 10 minutes de la pose, ce qui est loin  
d'\^etre acquis. 
D'autre part, la ligne de vis\'ee du DIMM ne correspond pas \`a celle de l'UT.
En insistant aupr\`es des astronomes de Paranal, j'ai obtenu un DVD des archives 
d'observation de nos nuits (en fait, de toutes les nuits de 2003-2004).
On y trouve le {\em seeing} du DIMM \`a chaque minute, mais surtout l'objet de 
mon d\'esir :
l'\'etalement de l'\'etoile de guidage, calcul\'e toutes les 30 secondes afin de 
corriger la forme du miroir primaire pendant sa course (l'optique active).
Ces valeurs sont th\'eoriquement plus adapt\'ees \`a nos observations : toujours 
disponibles car les UTs n'observent pas sans guidage ni optique active, et prises
parfaitement sur notre ligne de vis\'ee.

On utilise donc le {\em seeing} synth\'etique --moyen\footnote{L'\'ecart-type 
$\bar{\sigma}$ de la somme des gaussiennes centr\'ees d'\'ecart-type $\sigma_i$}--
calcul\'e d'apr\`es ces valeurs pour pond\'erer chaque image. 
Pour donner plus de poids aux {\em seeings} les plus faibles, on pond\`ere par 
$\frac{1}{seeing^4}$.

En fait, ce serait trop simple, ces valeurs restent parfois bizarrement bloqu\'ees 
plus ou moins longtemps \`a une valeur pr\'ecise (c.f Fig. \ref{fig:seeing}). 
L'ESO conna\^it et \'etudie ce probl\`eme logiciel, et l'on s'en accommode en 
esp\'erant que les valeurs soient tout de m\^eme qualitativement valables.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\mbox{
\begin{tabular}[b]{cc}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/Seeings.png} &
\begin{minipage}[b]{4cm}\caption{
{\it {\em Seeings} enregistr\'es par le DIMM {\rm (+)} et sur l'\'etoile guide 
pour l'optique active {\rm ($\times$)} au cours des 5 poses de SN-04D4it.
Les moyennes synth\'etiques par pose sont repr\'esent\'ees par les triangles, 
et la dur\'ee des poses par les barres. 
}\label{fig:seeing}
}\end{minipage}
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{figure}

Les fluctuations du {\it seeing} peuvent aussi avoir une cons\'equence vicieuse :
au moment de combiner les images, \`a l'endroit de la source, une image tr\`es 
piqu\'ee risque d'avoir un flux plus fort que les autres images, et d'\^etre 
b\^etement rejet\'ee par l'algorithme de moyenne robuste.
Un tel ph\'enom\`ene sera d\'ecelable sur l'image du bruit, car moins de pixels 
sont moyenn\'es, donc le bruit propag\'e est plus \'elev\'e sur l'\'eventuelle 
cr\^ete tronqu\'ee; ou en examinant la carte des pixels rejet\'es.
Si le signal est faible, comme c'est souvent le cas, il sera dur de d\'epasser 
le niveau de r\'ejection.
Dans les faits, ce ph\'enom\`ene n'a \'et\'e vu qu'une fois, mais \`a cause 
d'une premi\`ere image d\'epoint\'ee, vide, sur 6 (offerte par l'ESO).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CIEL %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Digression sur le fond de ciel}
\label{sec:ciel}
Le spectre du ciel, tel qu'on le voit en figure \ref{img:skyred}, est compos\'e :
\begin{list}{$\bullet$}{}
  \item d'un continuum solaire diffus\'ee par le limbe lunaire
  puis par l'atmosph\`ere (le bleu du ciel), d'autant plus intense que la lune est 
  gibbeuse et proche de la ligne de vis\'ee,
  \item des raies de d\'esexcitation de l'Oxyg\`ene $OI$, du doublet du Sodium 
  $Na$ \`a $589_,nm$, et
  \item de la pl\'ethore de raies ro-vibrationnelles du radical Hydroxyle $OH$, 
  au-del\`a de $6500\,\angstr$, pr\'epond\'erentes dans l'IR.
\end{list}

Il a d\'ej\`a \'et\'e dit que la soustraction du spectre du ciel \'etait la 
principale source d'erreur syst\'ematique. Elle est visible sur le spectrogramme 
combin\'e (c.f. Fig \ref{img:skyred}), \`a l'endroit des raies de l'$OI$ 
(\`a $5577\,\angstr$ et $6300\,\angstr$).
Ces raies \'etant syst\'ematiquement intenses, et leur soustraction parfois 
approximative, on aimerait appliquer un traitement sp\'ecifique pour ce r\'esidu.

Son origine est li\'ee \`a la qualit\'e du mod\`ele de spectre du ciel, 
et \`a celle des coefficients de dispersion.
Le spectre du ciel est estim\'e \`a $\pm 100\,pixel$ autour de la source, dans 
des bandes de $200\,pixel$ de large.
Sa soustraction doit donc \^etre bonne en $Y_{s} \pm 100\,pixel$, mais aussi 
mauvaise en $Y_{s}$ qu'en $Y_{s} \pm 200\,pixel$.

\subsection{O\`u estimer le spectre du ciel}
En raison de la courbure des raies et de l'estimation par colonnes, nos spectres
projet\'es par bande ne pourront \^etre que plus larges qu'en r\'ealit\'e.
Le moyennage robuste limite cet effet en ne gardant qu'un sous-groupe m\'edian
lorsque l'\'echantillon est bi-modal, et en passant fluidement d'un mode \`a 
l'autre.

Plus les bandes sont \'etroites, moins cet \'elargissement est grand, mais plus
le bruit r\'esiduel est important.
Il faut donc trouver un compromis sur la largeur des bandes.
Au centre, o\`u la distorsion est faible, une largeur de 200 lignes s'est av\'er\'ee 
\^etre un bon choix.

On pourrait penser utiliser des bandes couvrant l'ensemble de l'image pour 
construire le mod\`ele du spectre du ciel, mais cela se heurte \`a la d\'egradation
de l'image aux bords (\'elargissement de la PSF, donc de l'image des raies).
C'est la raison pour laquelle le mod\`ele du spectre du ciel finalement soustrait 
est estim\'e dans des bandes adjacentes \`a la source, pour que son profil soit 
le plus proche possible de celui qui se trouve \`a la position de la source.

Il reste encore un effet subtil : la pixelisation du spectre r\'eel.
En fonction de l'\'echantillonnage --de l'int\'egration-- op\'er\'ee par les pixels
sur le spectre suppos\'e spatialement uniforme, le profil discret obtenu varie.
On ne conna\^it donc que le spectre int\'egr\'e dans les pixels. 
Comme c'est ce que l'on veut soustraire, ce n'est pas critique.
Seulement, le mod\`ele ne sera pr\'ecis que pour les positions relatives de 
l'\'echelle des pixels, et de celle des \lda, valables dans la bande d'estimation.
Pour des d\'ecalages diff\'erents, la valeur du mod\`ele n'est qu'une interpolation.
Ainsi, pour une raie, si le centre de la raie se trouve toujours entre 
$\Xp=X_{0}-0.1$ et $\Xp=X_{0}+0.1$ du bas au haut des bandes, et qu'il se trouve 
\`a $\Xp=X_{0}-0.15$ en $Y_{s}$, le spectre discretis\'e du ciel en $Y_{s}$ risque 
d'\^etre diff\'erent de l'interpolation moyenne \'echantillonn\'ee selon les 
$\lambda(\Xp, Y_{s})$.

Ceci est d'autant plus sensible que le spectre r\'eel du ciel est structur\'e :
lorsque sa d\'eriv\'ee est grande, aux limites des raies intenses, l\`a 
pr\'ecis\'ement o\`u l'interpolation se fait sentir.
En particulier, on doit s'attendre \`a des effets de diffraction, d'interf\'erences
qui modifieront le profil carr\'e des raies pr\'evu g\'eom\'etriquement, 
pour faire appara\^itre des figures de diffraction de trame sub-pixelaire 
(c.f. Fig \ref{fig:coher}).
Le contraste de ces figures d\'epend de la coh\'erence spatiale et temporelle de
l'\'emission du ciel, s\^urement corr\'el\'ee au {\em seeing},
 et leur pas d\'epend de l'angle d'ouverture du faisceau incident sur le CCD.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-1.0cm}
\begin{tabular}[b]{cc}
  \includegraphics[width=8cm]{graphs/slit_10_diffract.png} &
  \begin{tabular}[b]{c}
    \includegraphics[width=4cm]{images/ox/slit_coherent.png} \\
    \includegraphics[width=4cm]{images/ox/slit_pixelized.png}
  \end{tabular}
\end{tabular}}
\caption{
{\it {\bf \`A gauche :} Effet de la diffraction sur l'image d'une fente, 
pour une illumination coh\'erente ou incoh\'erente, et de la pixelisation.
{\bf \`A droite :} image th\'eorique \`a haute r\'esolution d'une fente 
en lumi\`ere coh\'erente {\bf(haut)}, et son image pix\'elis\'ee {\bf(bas)}.
}
\label{fig:coher}
}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Effet de la diffraction}
Les images ne permettent pas de trouver cette structure sub-pixelaire, mais la 
th\'eorie de la diffraction peut la pr\'evoir.
Dans une hypoth\`ese simplificatrice, l'image d'un point source 
(sa t\^ache d'Airy, ou sa PSF id\'eale de diffraction) par un 
instrument de distance focale $f$ et de diam\`etre $D$ est un sinus cardinal au 
carr\'e $\left(\frac{sin(\pi x)}{\pi x}\right)^2$, avec $x=\frac{ X D}{\lambda f}$ 
(son intensit\'e, \'egale au carr\'e de l'amplitude du champ \'electrique de 
l'onde).
L'image d'une fente par une lumi\`ere incoh\'erente est simplement la convolution 
de la fonction porte de la fente par ce sinus cardinal au carr\'e.
Dans le cas d'une lumi\`ere coh\'erente, l'intensit\'e de l'image est cette fois 
le carr\'e de la convolution de la fonction porte avec l'amplitude de la PSF : 
avec un sinus cardinal.
On voit en figure \ref{fig:coher} la diff\'erence entre ces deux cas pour une 
fente de 1.0'', une focale de 108 m et un diam\`etre de 8.2 m.

Si l'on tente \`a pr\'esent de soustraire un tel profil, plus ou moins coh\'erent, 
d'un spectrogramme calibr\'e du CCD, on obtient les images pr\'esent\'ees en 
figure \ref{img:oxsub}.
La r\'egion correspond \`a la position de la raie de $OI$, et \`a la position
de l'{\em axe optique} (l\`a o\`u $\frac{d\lambda}{dy}=0$, 
soit en $y=-\frac{C_y}{2 C_{y2}}$; ou en $\Yp=1020$ ici).
La position des profils th\'eoriques est estim\'e {\em via} un filtrage par 
ondelette en chapeau Mexicain du profil projet\'e dans cette m\^eme r\'egion.
Pour comparaison, on trouvera aussi le r\'esultat de la soustraction d'un profil 
carr\'e pixelis\'e et du profil estim\'e par moyenne robuste selon \Yp\ 
(sur 100 pixels) et interpol\'e : le profil projet\'e.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{
%\hspace{-2.0cm}
\includegraphics[width=15cm]{images/ox/allOIsub.png}
}
\caption{
{\it Soustraction d'un profil carr\'e pixelis\'e {\bf (a)}, 
du profil projet\'e {\bf (b)},
et d'un profil th\'eorique de diffraction, en supposant une illumination
incoh\'erente {\bf (c)}, mi-coh\'erente {\bf (d)} et coh\'erente {\bf (e)}.
L'image brute choisie est le troisi\`eme spectrogramme de la s\'erie.
}\label{img:oxsub}}
\end{center}
\end{figure}

Dans ce cas favorable (distorsion minimale), on constate que la soustraction du
profil projet\'e est la plus efficace.
L'ajout de la diffraction am\'eliore la soustraction par rapport \`a un profil 
de raie th\'eorique g\'eom\'etrique, mais la structure fine de diffraction est 
assur\'ement plus complexe que le mod\`ele simplifi\'e utilis\'e pour cette 
\'etude (qui {\em oublie} le collimateur. L'interfrange $\frac{\lambda f}{D}$
serait 5 fois moindre).

La quantification des r\'esidus de soustraction au niveau des bords de la raie 
permet de remonter \`a l'impr\'ecision sur l'intensit\'e, sur la position et 
sur la largeur de la raie, ouvrant la voie \`a un traitement iteratif similaire 
\`a celui  pr\'esent\'e pour les raies photosph\'eriques des \'etoiles standard.
Toutefois, en l'absence de mod\`ele ad\'equat de diffraction (et, en particulier, 
de coh\'erence), la soustraction individuelle des raies n'est pas satisfaisante.
L'amplitude des pires r\'esidus est de l'ordre de 30 ADUs pour une raie 
d'intensit\'e 650 ADUs, soit moins de 5\%, et la fraction de la couverture 
spectrale pollu\'ee est aussi inf\'erieure au \%.

En cons\'equence, on se bornera \`a soustraire le profil projet\'e moyenn\'e par 
bandes, en ayant pris soin de bien choisir la largeur des bandes pour limiter 
l'\'elargissement du profil estim\'e.
Les \'eventuels r\'esidus d\^us \`a une structure fine des raies seront isol\'es
lors de l'extraction, pour peu qu'ils soient assez uniformes dans l'\'etroite 
fen\^etre d'extraction.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1st INFOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Premiers renseignements}
\label{sec:permiereinfo}

Le cahier des charges a \'et\'e rempli au mieux, au terme de maintes tentatives, 
erreurs et compilation. L'utilisation de m\'ethodes simples a permis de
conserver un temps de calcul faible (moins de 3 minutes pour 5 images, 
200 pixels de large. Projeter par bandes toute l'image pour
corriger $C_0$ et $C_y$, trouver les sources et r\'eestimer le ciel
prend plus de 2 minutes. Combiner en soi ne prend que 5 secondes).
Les images produites contiennent les principales estimations utilis\'ees
pour les produire, les pixels rejet\'es, les niveaux de coupure,
la position des fen\^etres et autres param\`etres de l'algorithme.

\subsection{Profils photom\'etriques }
Avant de clore ces spectrogrammes combin\'es, pour pr\'eparer l'extraction
\`a venir et disposer de premiers indices sur le signal pr\'esent,
le flux moyen int\'egr\'e en \lda\ dans les filtres utilis\'es au CFHT
(ceux des courbes de lumi\`ere des \sne\ SNLS) est calcul\'e.

La couverture spectrale n'est pas suffisante pour contenir la totalit\'e
de celle du filtre {\em g'} (et de {\em i'} pour la fente 1.3'' qui borne \`a
$8000\,\angstr$ ), mais la fraction perdue est faible (c.f. Fig. \ref{fig:filters}).
Avec le grisme 300I, seuls les filtres {\em i'} et {\em z'} sont couverts.

La proc\'edure est simple : chaque colonne est pond\'er\'ee par la transmission
du filtre consid\'er\'e, au \lda\ de la colonne.
Les colonnes sont alors moyenn\'ees pour fournir le profil spatial 
d'intensit\'e, par filtre.
On ne tient pas compte de la fonction de r\'eponse instrumentale, pour 
simplement calculer le flux en ADUs pr\'esent dans chaque couleur : 
l'intensit\'e le long de la fente si FORS observait en imagerie avec les filtres
du CFHT (plus GG435).

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{ %\hspace{-2.0cm}
\begin{tabular}[c]{cc}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/FiltersV.png} &
\includegraphics[width=7cm]{graphs/Spatial_Prof.png}
\end{tabular}}
\caption{
{\it {\bf \`A gauche :} Comparaison des couvertures spectrales du grisme 
300V avec son filtre associ\'e GG435, et des filtres passe-bande {\em g'}, 
{\em r'} et {\em i'} utilis\'es par M\'egacam au CFHT.
{\bf \`A droite} : Profils d'intensit\'e spatiaux moyenn\'es dans les 
trois filtres {\em g'}, {\em r'} et {\em i'}.}
\label{fig:filters}
}
\end{center}
\end{figure}

On constate que le fond  de notre spectrogramme combin\'e est l\'eg\`erement
n\'egatif : les sources trop faibles pour \^etre rejet\'ees m\`enent
\`a surestimer le spectre du ciel d'une fraction d'ADU.

\subsection{D\'etection des points sources}
Pour r\'esumer plus encore ce qui se trouve dans le spectrogramme combin\'e, 
un filtre ondelette adapt\'e \`a la d\'etection de gaussiennes de largeur
\'egale au {\em seeing} est appliqu\'e \`a ces profils d'intensit\'e.
La position et l'intensit\'e des sources pontuelles significatives sont 
estim\'ees, l\`a o\`u le profil filtr\'e pr\'esente un maximum local sup\'erieur 
\`a $N$ fois le bruit du pixel sous-jacent 
(on prend $N=3$ pour trouver les objets faibles, c.f. Fig. \ref{fig:filters}).

Le mod\`ele d\'eriv\'e de ces d\'etections (une somme de gaussiennes
de largeur \'egale au {\it seeing}, centr\'ees sur la position du maximum local)
est trac\'e en pointill\'es sur la figure \ref{fig:filters}.\\
Ici, 3 sources sont trouv\'ees dans la bande {\em g'}, et 5 dans les bandes
{\em r'} et {\em i'}.

La \sne, centr\'ee en $\Yp=1022$, atteint \`a peine 5 ADUs par pixel, en 
moyenne, dans les bandes {\it r'} et {\it i'}.
On comprend qu'elle n'ait pas \'et\'e trouv\'ee dans la trace de r\'ejection.

Les profils spatiaux et les caract\'eristiques des points sources trouv\'es
sont conserv\'es dans une table en extension. 
\`A ce stade, le spectrogramme combin\'e est clos, et occupe environ 5.5 Mo
(d\'ependant du nombre d'images brutes combin\'ees et du nombre de pixels
rejet\'es), premi\`ere r\'e\'ecriture des donn\'ees et mine d'analyse.

\subsection{Spectres des points sources}
Il est aussi tentant d'extraire un premier spectre de ce spectrogramme
combin\'e.
La m\'ethode appliqu\'ee aux brillantes \'etoiles standard n'est pas adapt\'ee 
aux \sne\ faibles souvent superpos\'ees \`a leur galaxie h\^ote.
La d\'etection du centro\"ide et de l'inclinaison du spectre sont bien plus
d\'elicats en pr\'esence de plusieures sources, et fera l'object du chapitre 
\ref{chap:apriori}.

Un programme {\tt C++} annexe et modulable permet d'effectuer quelques t\^aches 
utiles, depuis un terminal ou une routine {\tt Python} :

\begin{list}{$\bullet$}{}
  \item Filtrer spatialement les pixels d\'eviants,
  \item Calculer le profil d'intensit\'e spatial int\'egr\'e dans un filtre CFHT 
  (tenant compte cette fois de la fonction de r\'eponse),
  \item D\'etecter les sources sur ce profil,
  \item En d\'eduire le niveau de fond r\'esiduel par colonne et le soustraire,
  \item Extraire le spectre des points sources par un filtrage par ondelette,
  l'une adapt\'ee aux sources continues spectralement, 
  l'autre aux sources spectralement fines (raies d'\'emission),
  et les normaliser par la fonction de r\'eponse.
  \item Identifier les raies d'\'emission du spectre fin,
  \item Recopier le spectrogramme s'il a \'et\'e modifi\'e, \'ecrire
  le profil spatial et les spectres extraits dans des tables ASCII.
\end{list}

L'extraction du spectre continu est une convolution du spectrogramme avec un
profil gaussien bidimensionnel d'\'ecart-type 
$\sigma = \frac{seeing}{2\sqrt{2\log2}}$ selon \Xp, \`a \Yp\ fix\'e \`a $Y_s$ :
c'est une extraction de PSF gaussienne.
Pour la composante spectralement fine, le profil selon \Xp\ est un chapeau
Mexicain adapt\'e \`a la largeur de l'image de la fente, plus sensible au
niveau de bruit.
La fonction de r\'eponse n'est prise en compte que tant qu'elle est sup\'erieure 
\`a $0.1$, ce qui explique le saut du bruit propag\'e \`a $4200\,\angstr$
(c.f. Fig \ref{fig:psfspec}).

Dans le cas de notre exemple, le niveau de fond moyen, estim\'e en 175 points
sur 200 (coupure \`a $+5\sigma$), est de -0.26 ADU.
Deux points source sont trouv\'es \`a plus de $10\sigma$ dans le filtre 
{\it r'} : 
une galaxie de champ en $\Yp=1014$ et la \sn\ sur sa galaxie en $\Yp=1022$.
Aucune raie d'\'emission n'est trouv\'ee \`a plus de $5\sigma$.

\begin{figure}[hbtp]
\begin{center}
\mbox{ %\hspace{-2.0cm}
\begin{tabular}[c]{cc}
\includegraphics[width=7cm]{graphs/PSF_trace.png} &
\includegraphics[width=7cm]{graphs/PSF_spectra.png}
\end{tabular}}
\caption{
{\it {\bf \`A gauche :} Profil d'intensit\'e corrig\'e du fond r\'esiduel,
int\'egr\'e dans le filtre {\em r'}. 
Les lignes d\'eviant de plus de $3\sigma$ du niveau m\'edian robuste bas 
(\`a $5\sigma$) sont masqu\'ees.
Les sources ponctuelles trouv\'ees \`a plus de $10\sigma$ sont conserv\'ees.
{\bf \`A droite} : Spectre extrait par ondelette de la source principale, 
niveau du fond r\'esiduel soustrait aux colonnes de l'image, et composante
fine du spectre.}
\label{fig:psfspec}
}
\end{center}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PAUSE Gouter %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\pagebreak

\begin{center}
%\section*{ {\sc Entracte Contemplative}\\ }
\textsc{ \Large Entracte Contemplative }
\end{center}

Je ne m'\'etendrais pas dans cet ouvrage sur les nombreuses subtilit\'ees 
d'impl\'ementation, sur les {\em perles rares}, grains de sables improbables
mais pas impossibles, qui conduisent \`a une division par z\'ero, \`a une
racine de nombre n\'egatif, bref \`a une aberration num\'erique qu'il faut
anticiper avant le moment crucial.
Ni sur les plus communes erreurs d'indexage, r\'esum\'ees
par le fameux message {\tt erreur de segmentation}, alors que le programme
laisse tout en plan, dans un fichier {\tt core.4321}.

Un mot tout de m\^eme sur la routine du d\'eveloppeur : \\
Au tout d\'ebut est la page blanche, comme pour les artistes.\\
Par la suite, le recyclage des codes rod\'es et l'abstraction fonctionnelle sont 
salvateurs.
Une fois lanc\'e, inspir\'e, le d\'eveloppeur assemble bout par bout son 
ouvrage, en v\'erifiant qu'il soit compilable, puis ex\'ecutable, 
sans {\em plantage}. Sa syntaxe est alors exacte.\\
Il v\'erifie ensuite le bon comportement du programme : qu'il ex\'ecute bien 
ce pour quoi il a \'et\'e con\c{c}u. 
Les erreurs non plus de syntaxe, mais bien de sens, sont ainsi traqu\'ees 
(jusqu'\`a n'\^etre plus d\'ecelables, et d\'eclar\'ees disparues).

Bien souvent, le d\'eveloppeur s'exerce sur un exemple de son probl\`eme 
(une observation de \sn\ dans mon cas).
L'inter\^et de son travail est que son programme fonctionne dans la majorit\'e,
sinon l'unaminit\'e, des cas.
Suit donc une p\'eriode de test en {\em grandeur nature} du programme, 
confront\'e au maximum de cas imaginables.

Me concernant, les cas imaginables sont \'evidemment l'ensemble des images
fournies par l'ESO, bornant notre univers VLT.
Ainsi, le test ultime est r\'ealis\'e en m\^eme temps que la r\'eduction
en bloc des donn\'ees. Toutes les inhomog\'en\'eit\'es pr\'esentes dans ces
donn\'ees, pourtant remarquablement homog\`enes, risquent de surprendre 
mes algorithmes, con\c{c}us dans une hypoth\`ese d'ergodisme.
Plus pr\'ecis\'ement, ce sont les valeurs de certains en-t\^etes, compar\'ees
pour valider l'uniformit\'e des images utilis\'ees, qui sont parfois tronqu\'ees,
mises \`a z\'ero, ou erron\'ees.

Une fois ces hoquets traqu\'es et les algorithmes modifi\'es en cons\'equence,
les programmes supportent l'int\'egralit\'e de notre base de donn\'ees FORS1, et 
l'on veut croire qu'il en sera de m\^eme pour les donn\'ees \`a venir. 

\par
Repus de ces erreurs, impr\'ecisions et oublis, \`a pr\'esent bien dig\'er\'es,
le d\'eveloppeur peut s'installer confortablement et \'ecouter ronronner
la d\'elicate machinerie \`a laquelle il a d\'el\'egu\'e son jugement,
et qui dig\`ere maintenant pour lui quelques giga-octets de donn\'ees en 
quelques heures, pendant qu'il r`\'efl\'echit \`a la suite en m\'editant ses \'epreuves.

La course de la cascade de calibration a permis de r\'eduire significativement
la dimensionnalit\'e du probl\`eme : les nombreuses images de calibration
et de science sont int\'egr\'ees en un unique spectrogramme combin\'e, annot\'e
et habill\'e.

Les produits d\'eriv\'es sont r\'esum\'es, gr\^ace \`a des routines {\tt Python},
dans des pages {\tt HTML} consultables par les membres du SNLS.
Elles permettent de s'assurer du bon comportement des programmes sur l'ensemble
des observations, et de consulter rapidement le contenu de l'observation 
d'une \sn\ donn\'ee.

Au terme de ma seconde ann\'ee \`a Santiago, \`a l'heure de r\'eint\'egrer mon
laboratoire d'accueil \`a Paris, je partais avec ma librairie de programmes sur
un CD, et la premi\`ere version en ligne de mes \'epreuves :\\
Des spectrogrammes combin\'es en estimant le ciel directement dans la fen\^etre 
de sortie de $200\,pixel$, en 5 secondes.\\
La fonction de dispersion et la r\'eponse instrumentale \'etaient encore 
emprunt\'ees aux produits {\tt MIDAS}.\\
Les spectres des points sources \'etaient extraits comme cela vient d'\^etre 
pr\'esent\'e. Le mode {\tt MOS} n'\'etait pas du tout consid\'er\'e.
